PLUS GRAND COMMUN DIMSEUR ALGÉBRIQUE

50. — Étant donnés deux polynômes entiers en .t, A et B, on appelle plus grand commun diviseur de A et de B le polynôme entier en x de plus haut degré qui divise à la fois A et B.

De même, on appelle plus petit multiple commun de deux polynômes A et B le polynôme de degré le moins élevé qui soit divisible par A et par B.

Cherchons à déterminer le plus grand commun diviseur de A et de B. Nous allons voir qu'il est défini à un facteur numérique près.

Supposons que le degré de B soit inférieur ou égal au degré de A ; il ne peut y avoir un diviseur commun dont le degré dépasse le degré de B, et s'il y a un diviseur commun du même degré que B, il ne peut différer de B que par un facteur numé-

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rique. Si donc B divise A, B est le plus grand commun diviseur cherché.

Effectuons la division de A par B, les polynômes étant ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de x, et poussons l'opération jusqu'à un reste R de degré inférieur au degré du diviseur. Si ce reste est nul, B est le plus grand commun diviseur cherché. Si le reste R n'est pas nul, comme les diviseurs communs à A et à 1^ sont les mêmes que les diviseurs communs à B et à R, on est ramené à chercher le plus grand commun diviseur entre B et R.

On est ainsi conduit à diviser B par R et à pousser l'opération jusqu'à un reste R, de degré inférieur au degré de R, puis à diviser R par Ri et à pousser l'opération jusqu'à un reste R., de degré inférieur au degré de Rj.

En continuant de la sorte, on arrive nécessairement à une constante ou à un reste nul, puisque les degrés des restes successifs vont en diminuant.

Si l'on arrive à un reste nul, le reste précédent est le plus grand commun diviseur cherché.

Si l'on arrive à une constante, il n'existe aucun polynôme entier en X qui divise à la fois les deux polynômes donnés : on dit qu'ils %oni premiers entre eux, On dit aussi, dans ce cas, que le plus grand commun diviseur des deux polynômes est une constante. On est ainsi conduit à la règle suivante :

Règle. — Pour trouver le plus grand commun diviseur de deux polynômes, après avoir ordonné ces deux polynômes par rapport aux puissances décroissantes de x, on divise celui qui est du degré le plus élevé par l'autre, celui-ci par le reste de la division, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à un reste nul. Le dernier diviseur est le plus grand commun diviseur cherché.

Remarque. — Dans la pratique, afin d'éviter les coefficients fractionnaires, on peut multiplier tous les termes de l'un quelconque des polynômes par une quantité indépendante de x, pourvu que cette quantité soit finie et différente de zéro. De mêuKî, si l'on aperçoit un facteur commun aux coefficients de tous les termes d'un certain reste, on peut le supprimer.