PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ALGÉBRIQUE

En effet, si on multiplie A et B par M, tous les restes des divisions successives qui conduisent au plus grand commun diviseur se trouvent multipliés par M ; il en est donc de même pour le plus grand commun diviseur qui est le dernier de ces restes.

Si on divise deux polynômes k etB par leur plus grand commun diviseur D, les quotients obtenus Q et Q' sont premiers entre eux.

En effet, si Q et Q' avaient un diviseur commun r/, autre qu'une constante, on aurait Q = dq, Q' == dq' , A = Y)dq, B = Y)dq\ Dr/ serait un diviseur de A et de B, et D ne serait pas le diviseur commun du degré le plus élevé.

53. Théorème. — SI un polynôme entier en x divise un produit de deux fadeurs et est premier avec l'un deux, il divise l'autre.

Soient A, B, G des polynômes entiers en x, si G divise AB et est premier avec A, G doit diviser B.

En effet G et A étant premiers entre eux ont pour plus grand commun diviseur une constante h; GB et AB, d'après un théorème précédent, ont pour plus grand' commun diviseur /iB.

Mais G divise AB par hypothèse, il divise évidemment GB, donc il divise le plus grand commun diviseur de ces deux polynômes /iB, et par suite B, qui n'en diffère que par un facteur constant.

54. Théorème. — Si deux polynômes entiers en x, A et B, sont prenners entre eux, on peut déterminer des polynômes entiers en X, A' et B', tels que l'on ait identiquement :

AB'-+-BA = i.

En effet, soient :

A = BQ -hR

les identités correspondant aux divisions successives qui condui- ^sent au plus grand commun diviseur de A et de B ; chacun des

restes R, R^ peut s'exprimer en fonction linéaire et homogène de A et de B, par exemple :

R ..= A — BQ

R, = B — RQ, B - Q, (A - BQ)

Il en sera de même du plus grand couuiiun diviseur D, qui est le dernier de ces restes, et l'on aura l'identité

AB, + liAj = D

Aj et Bj représentant des polynômes entiers en x.

D étant une constante différente de zéro, on peut diviser par D les deux membres de l'identité précédente, et l'on aura, en

désignant par A' et B' les quotients j^* et W^, qui sont des polynômes entiers en x,

AB' + BA'=i.

55. — Théorème. — Si deux polynômes entiers en x, A et B, de degrés p et q respectivement, ont un diviseur commun de degré n, on peut trouver deux autres polynômes A, et J3i, de degrés p — n et q — n respectivement j tels que l'on ait identiquement

AB, -f-BAj =0.

Soit D le diviseur commun de degré n des deux polynômes A et B. On a identiquement

A = DQ, B = DO,,

Q étant un polynôme de degré p — n, et Q, un polynôme de degré q — n. On en déduit

AQ, = i)QQ,, BQ = DQ,Q.

et par suite

AQ, — BQ =z o.

Cette dernière égalité est de la forme voulue ; si l'on pose en effet Q == — A,, Q, ^.^ B,, elle s'écrit AB, -\- BA, =z o, Ai étant un polynôme de degré/) — n, et B, un polynôme de degré q — n.

La proposition réciproque peut être énoncée comme il suit :