PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ALGEBRIQUE

Théorème. — Soient A etB deux polynômes entiers en x, de

degrés p et q respectivement. S'il existe deux autres polynonies

Al et B^ de degrés respectifs p — n et q — /z, tels que Ion ait

Identiquement

AB, -I- BA, = o,

le plus grand commun diviseur des deux polynômes A et B est de degré n, ou de degré supérieur à n.

Soient D le plus grand commun diviseur des deux polynômes A et B, Q le quotient de A par D, Q' le quotient de B par D. Bemplaçons A par QD, B par Q'D dans l'identité

ABi M- BA, == o :

il vient

QDB, 4- Q'DA, =r. D (QB, -f- Q'A J = o.

Le polynôme D n'étant pas nul, il faut donc que l'on ait identiquement

QB, -f- Q'A, = o, ou Q]\ = (— Q') A,.

Le polynôme Q divisant le produit QBj divise aussi le produit Q'Aj ; or il est premier avec Q', il doit donc diviser Aj (n^ 52). Ce polynôme Ai étant de degré p — n, il s'ensuit que Q est au plus du même degré p — n, ou de degré inférieur hp — n. D'ailleurs, le degré yj du polynôme A est égal à la somme des degrés des deux polynômes D et Q. Le degré de Q étant au plus égal à p — n, il s'ensuit que le degré de D est au moins égal à la différence yj — {p — n), c'est-à-dire au moins égal à n.