ARRANGEMENTS

56. — Je suppose que l'on ait m objets distincts. On appelle arrangements de ces m objets n Ix n les diflerentes dispositions que l'on peut former avec ces m objets, en les prenant n à n de toutes les manières possibles, et les plaçant les uns à cAté des autres sur une ligne droite. Deux arrangements dilïcrent, par la nature des objets qui les composent, ou seulement par l'ordre dans lequel ils sont placés.

Par exemple, avec les trois lettres a, h, c, prises deux à deux de toutes les manières, on peut former les six arrangements suivants :

ah, ac, ba, hc, ca, ch.

Le premier et le troisième ne diffèrent que par l'ordre des lettres ; de môme le second et le cinquième, le quatrième et le sixième.

Nous représenterons en général les m objets par les premières lettres de l'alphabet ■^<'^'

et nous désignerons par le symbole A;;, le nombre des arrangements que l'on peut former avec ces ni objets pris n à n de toutes les manières possibles.

On obtient évidemment les arrangements des ni lettres une à

ARRANGEMENTS Sj

une en prenant chacune d'elles séparément, ce qui donne m a, h, c k.

arrangen^ents

Ainsi

Nous obtiendrons les arrangements des m lettres deux àdeux^ en mettant à la suite de la première lettre a successivement chacune des autres lettres, à la suite de la seconde lettre b successivement chacune des autres, et ainsi de suite, ce qui donne le tableau suivant :

ab, ac^ ad , ak,

ha, bc, bd, , bk,

ca, cb, rd, ck,

ka, kb, kc, , kh.

La première ligne horizontale contenant tous les arrangements qui commencent par la lettre a, la deuxième tous ceux qui commencent par la lettre 6, etc., nous avons ainsi formé tous les arrangements des m lettres deux à deux. Puisque chaque ligne horizontale renferme //? — i arrangements, et qu'il y a m lignes, le nombre des arrangements contenus dans le tableau

est 7/1 (m — i) ; on a donc

Al, = m [m — I

De même, si, à la suite de chacun des arrangements deux à deux, on place chacune des m — 2 autres lettres, on forme

les arrangements trois à trois

abc, abd, ahk,

acby acd, ack,

bac, bad, bak,

A la suite du premier arrangement ah de deux lettres, nous

avons écrit chacune des autres lettres c, f/, , k; de même,

à la suite du second ac, chacune des autres lettres 6, r/, ,

k, etc. Nous avons formé ainsi tous les arrangements trois à trois ; car un arrangement de trois lettres se compose nécessairement d'un arrangement de deux lettres suivi d'une autre lettre. Le même arrangement n'est pas répété deux fois, car les arrangements d'une même hgne horizontale diffèrent par la troisième lettre, et deux arrangements de deux lignes dilTérentes par l'arrangement des deux premières lettres. Chaque ligne horizontale contient m — 2 arrangements ; il y a m [m — i) lignes horizontales, autant que d'arrangements deux h deux ; donc le nombre des arrangements des m lettres trois à trois est

AJ„ =- m (m — i) (m — 2).

En continuant le même raisonnement, on arrive à la formule générale

Le nombre des arraïKjements de m objets n à n est éijal aa produit de n nombres entiers consécutifs décroissants à commencer par m.

Il est bon de s'assurer que cette formule, écrite par induction, est générale. Supposons que Ton ait formé les arrangements des m lettres n — i an — i , et que l'on veuille former les arrangements n h n. A la suite de chacun des arrangements n — i à n — I , on écrira successivement chacune des m — n-\- 1 autres lettres. On obtiendra de la sorte tous les arrangements nkn; car un arrangement de n lettres se compose d'un arrangement tle n — I lettres suivi d'une autre lettre. Le même arrangement ne se trouve pas répété deux fois ; car deux quelconques des arrangements ainsi obtenus diffèrent, soit par la dernière lettre, soit par l'arrangement des n — i premières lettres. Chacun des arrangements précédents donnant m — /i -h i arrangements nouveaux, on a la relation générale

A;^==Ar* X [ni — n + i).

PERMUTATIONS Ôg

On en déduit, en donnant successivement à n les valeurs 2, 3, 4, ....,, /î.

Al = Al X (m — 2), a:. = Al X (m - 3). ^

Si l'on multiplie toutes ces égalités entre elles, les facteurs iniGrmédiaires disparaissent, et Ton obtient la formule

Kn = "^ ('" — i) ("^ — 2) (m — 71 H- l).

Applications. — 1° Quel est le nombre des arrangements de sept lettres trois à trois? C'est le produit de trois nombres entiers consécutifs décroissants, à commencer par 7,

Aï = 7.6.5 = 210.

2^" Combien y a-t-il de nombres composés de deux chiffres significatifs différents ? Autant qu'on peut former d'arrangements avec les neufs chiffres significatifs deux à deux,

Ar^=:.9.8=72.

3* Combien y a-t-il de nombres composés de cinq chiffres significatifs différents ? Autant qu'on peut former d'arrangements cinq à cinq avec les neuf chiflVes significatifs,