PERMUTATIONS

57. — On dippeWe permutations de m objets les différentes dispositions que l'on peut donner à ces m objets, en les plaçant les uns à coté des autres sur une ligne droite. Chaque permutalion contient tous les objets, et deux permutations ne diffèrent que par l'ordre des objets.

Ainsi, avec deux lettres a et 6, on peut former deux permutalions

ab, ha.

Nous désignerons en général par P^ le nombre des permutalions de m objets. Il résulte de la définition que les permutations de m objets ne sont autre chose que les arrangements de ces m objets pris tous ensemble, c'est-à-dire m k m ; on a donc, suivant la notation habituelle,

ou, si Ton change l'ordre des facteurs,

Le nombre des permutations de m objets égale le produit des m premiers nombres entiers..

Applications. — i° Combien peut-on former de mots de trois lettres différentes avec trois lettres données ? C'est le nombre des permutations de trois lettres :

2" De combien de manières peut-on disposer dix soldats en ligne ? C'est le nombre des permutations de dix objets :

Remarque. — Nous avons déduit la formule des permutations de celle des arrangements comme cas particulier. Voici comment on peut établir cette formule directement.

On ne peut évidemment donner qu'une disposition à une lettre a ; ainsi

Avec deux lettres a et />, on peut former deuf permutations

ab, ba, et l'on a

Si, dans chacune des permutations précédentes, on introduit la lettre c à toutes les places, à la fin, au milieu, au commencement, on obtient les permutations de trois lettres a, 6, c,

fl6c, ad), cab, bac, bca, cba.

On a formé ainsi toutes les permutations de trois lettres ; car

une permutation de trois lettres se compose d'une permutation des deux premières lettres a et b k laquelle on ajoute la troisième lettre c à une place déterminée. La même permutation ne se trouve pas répétée deux fois ; car deux permutations quelconques diffèrent, soit par la place de la lettre c, soit par la disposition des deux autres lettres. Chacune des permutations précédentes donnant trois permutations nouvelles, on a

De même, si, dans chacune des permutations des trois lettres a, 6, c, on introduit la lettre d à toutes les places, et il y a quatre places, deux intermédiaires et deux extrêmes, on obtient les permutations des quatre lettres a, b, c, d ; chacune des permutations précédentes donnant quatre permutations nouvelles, on a

En continuant le même raisonnement, on arrive à la formule générale

58. — On appelle combinaisons de m objets n h n les différents groupes que l'on peut former avec ces ni objets, en les prenant n k n de toutes les manières possibles, de façon que deux groupes diffèrent au moins par la nature d'un objet.

Dans les combinaisons on n'a pas égard k la disposition des objets.

Par exemple, avec les trois lettres a, b, c, prises deux à deux, on ne peut former que trois combinaisons

«6, ac, cb,

tandis que l'on a six arrangements.

Nous désignerons en général par C'^, le nombre des combinaisons de m objets n k n. La formule des combinaisons se déduit de celle des arrangements et de celle des permutations.

Imaginons, en effet, les combinaisons de m lettres n h n formées. Si nous donnons aux n lettres qui composent chacune de ces combinaisons toutes les dispositions possibles, c'est-à-dire si nous formons les permutations de ces n lettres, nous obtiendrons les arrangements des m lettres n an. Nous aurons ainsi tous les arrangements ; car un arrangement quelconque est une combinaison dans laquelle les n lettres qui composent cette combinaison sont disposées dans un certain ordre ; et nous n'aurons pas deux fois le même arrangement ; car les arrangements fournis par une même combinaison diffèrent par l'ordre des lettres, et ceux qui sont fournis par des combinaisons différentes diffèrent au moins par la nature d'une lettre. Chaque combinaison donnant un nombre de permutations égal à P„, on a

A". = Cl X l'„ ; d où

An

et, en remplaçant par les valeurs connues,

Applications. — Pour appliquer la formule, on écrit d'abord au dénominateur les n premiers nombres entiers, puis on écrit au numérateur autant de nombres entiers décroissants, à commencer par ni.

1° Nombre des combinaisons de 5 objets 2 à 2 ;

Ci = ^^''=10. ■■

2" Nombre des combinaisons de lo lettres ^ h. ^ ; ^, io.q.8.7

3° Nombre des combinaisons de 10 lettres 6 à 6 ;

Nous démontrerons sur les combinaisons deux théorèmes qui nous seront utiles par la suite.

59. Théorème I. — Le nombre des combinaisons de m objets n à n est égal aa nombre des combinaisons de m objets m — n à m — n.

Supposons, en effet, que l'on ait m numéros dans une urne ; si l'on en tire n, il en restera m — n dans l'urne ; ainsi, à chaque combinaison de n numéros tirés correspond une combinaisijn de m — n numéros restants, et réciproquement.

' m — Il

On peut d'ailleurs vérifier aisément l'égalité des deux nombres

çn m (m — i) ....^(m — n -j- i)

'"■ ^r . 2.3 Il

car^ si l'on multiplie les deux termes de la première fraction par le produit i. 2 (ni — n), les deux termes de la seconde par I. 9 n, les dénominateurs deviennent égaux et

l'on a au numérateur le produit des nombres entiers consécutifs de I à f)i ; il vient de la sorte

çn Ç'».n __ ^ • ^ • 3 m ^

Par exemple, le nombre des combinaisons de 5 objets zi à /j est égal au nombre des com]3inaisons de 5 objets i à i, le nombre des combinaisons de 5 objets 3 à 3 est égal au nombre des combinaisons de 5 objets 2 à 2.

Théorème II. — Le nombre des combinaisons de m objets n à n est égal aa nombre des combinaisons de m — i objets n à n, plus le nombre des combinaisons de m — i objets n — i an — I .

En effet, les combinaisons de m lettres a, b, c, , /c, prises

n à n, peuvent être distinguées en deux catégories, celles qui ne contiennent pas une certaine lettre k, et celles qui la contiennent. La première catégorie se compose évidemment des combinaisons des m — i premières lettres n à /z. On obtiendra

Ô/l LIVRE I. CHAPITRE Y

celles de la seconde catégorie en formant les combinaisons des m — I premières lettres n — i h n — i, et ajoutant à chacune d'elles la lettre /.-. On a donc :

On peut aussi vérifier facilement cette égalité au moyen de la formule des combinaisons.

Par exemple, le nombre des combinaisons de 7 objets 3 à 3 est égal au nombre des combinaisons de 6 objets 3 à 3, plus le nombre des combinaisons de G objets 2 à 2.