A toute 2:randeur incommensurable avec la grandeur

de même nature choisie pour unité correspond ainsi un nombre irrationnel. Inversement à tout nombre irrationnel correspond une grandeur incommensurable. Si nous continuons à raisonner

sur les longueurs comme nous l'avons fait jusqu'ici, cet énoncé signifie que si l'on a décomposé l'ensemble des nombres rationnels en deux catégories (a) et (|5), jouissant des propriétés précédentes, il existe un segment OL n'ayant pas de commune mesure avec le segment BC, et tel que tout nombre rationnel de la catégorie (a) mesure un segment plus petit que le segment OL, tandis que tout nombre rationnel de la catégorie (^j) mesure un segment plus grand que OL.

Avant d'établir ce point, nous énoncerons d'abord une propriété des segments portés par une droite, que nous appliquerons plusieurs fois. Considérons sur une droite indéfinie X'X un segment AB, ayant pour extrémités les deux points A et B, le point B étant à droite du point A. Prenons sur ce segment deux points Aj et B^, le point A^ étant à gauche du point Bj ; nous dirons que le segment A,Bi est intérieur au segment AB. On n'exclut pas le cas où l'une des extrémités Aj, Bj du nouveau segment coïnciderait avec l'une des extrémités A, B du premier; Al peut coïncider avec A, ou B^ avec B, mais nous supposerons que les deux coïncidences n'ont pas lieu à la fois. Soient A^B^ un nouveau segment intérieur au segment AjB^, A3B.3 un segment intérieur au segment AgBg, et ainsi de suite, chaque segment étant intérieur au précédent, et s'en déduisant d'après une loi absolument arbitraire. Nous avons ainsi une suite indéfinie de segments sur la droite X'X,

(i) AB, A,B„ A,B,, ..., AA. -.•

dont chacun est intérieur à tous ceux qui le précèdent et renferme tous ceux qui le suivent; A„ désigne toujours L'extrémité du segment A„B« la plus rapprochée du point A.

Supposons maintenant que la longueur du segment A„B« diminue indéfiniment lorsque le nombre n augmente indéfiniment, c'est-à-dire que l'on puisse toujours trouver un nombre n tel que le segment A„B„ soit plus petit qu'un segment donné à l'avance, aussi petit qu'on le prenne. Il ne peut alors exister deux points de la droite X'X appartenant à la fois à tous les segments de la suite (i); en effet, s'il y avait deux points dis-

tincts L, L' satisfaisant à cette condition, le segment A,ïB„ serait plus grand que le segment LL', quel que soit n, ce qui est contraire à l'hypothèse. Il y a donc un seul point (*) L du segment AB appartenant à tous les segments successifs A^Bj, AgB^, ..., A,jB»--- Chacun des segments A„L, LB,,, étant au plus égal au segment AnBn, diminue indéfiniment lorsque le nombre ji augmente indéfiniment. Nous dirons pour cette raison que ce point L est \e point-limite de la suite de segments (i) ou des deux suites de points

A, A^, Aj, ... A„, ...

Bemarque. — Le point L est en général intérieur à chacun des segments. Si le point L coïncidait avec l'extrémité A,i du segment A«B„, comme ce point L doit appartenir à tous les segments suivants A,,^.^ B„^ j, Xn + ^^n + i^ •-•> il faudrait qu<e tous les points A„^ j, A„^ 2, ... coïncident avec A„. Cette condition est évidemment suffisante. De même si tous les points l^n + i» B„^2, ... coïncident avec B„, le point L est le point Bn lui-même.

4. — Cela posé, revenons à nos deux catégories de nombres rationnels (a) et (|^). Nous emploierons pour abréger la locution suivante : M étant un point de la demi-droite OX tel que le segment OM ait pour mesure le nombre rationnel r-, nous

dirons que ce nombre -- est l'abscisse du -point M. Nous désignerons par A un quelconque des points de OX dont l'abscisse est un nombre rationnel de la catégorie (a), et par Bun quelconque des points de OX dont l'abscisse est un nombre rationnel de la catégorie (^). D'après les propriétés de ces deux catégories de nombres, un quelconque des points A est à gauche de l'un quelconque des points B.

Soit AB un segment dont les extrémités A et B sont deux points appartenant respectivement à ces deux catégories ; C étant

(i) Noti? admettons comme évident l'existence de ce point L. C'est là un postulat conforme à notre intuition de la ligne droite.

le milieu du segment AB, la longueur OC est égale — »

et par conséquent est commensurable avec le segment choisi pour unité. L'abscisse du point G est donc un nombre rationnel qui peut appartenir à la classe (a) ou à la classe (^3). Nous remplacerons le segment AB par le segment GB si l'abscisse du point G est de la classe (a), et par le segment AG si l'abscisse du point G est de la classe [fj). Dans les deux cas on a déduit du segment AB un nouveau segment AjB^ intérieur à AB, qui est la moitié du segment AB. En opérant de même sur le segment A,Bi, et ainsi de suite indéfiniment, nous obtenons une suite indéfinie de segments