CHAPITRE VI

61. — On sait que le produit de deux polynômes est égal à la somme des produits que l'on obtient en multipliant chacun des termes du multiplicande par chacun des termes du multiplicateur. En général, le produit de plusieurs polynômes est la somme des produits que l'on obtient en prenant de toutes les manières possibles un terme dans chacun des polynômes proposés.

Proposons-nous d'abord d'effectuer le produit des m facteurs binômes

{x + a) (ce -h b) [x -h c) {x 4- h) (x -h k),

en l'ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de x. D'après la loi que nous venons de rappeler, le produit de ces m facteurs binômes est la somme des produits que l'on obtient en prenant de toutes les manières possibles un terme dans chacun d'eux. Si l'on prend les m premiers termes, on obtient le premier terme se*" du produit. Si l'on prend le second terme a dans le premier facteur binôme, et le premier terme x dans tous les autres, on obtient le produit ax''''^ qui est du degré jYi — I par rapport à a:; ; en prenant de même le second terme b dans le second facteur binôme, et le premier terme x dans tous les autres, on a bx'^~^ ; le second terme de l'un quelconque des facteurs binômes, combiné avec les premiers termes de tous les autres, donne au produit un terme en a:'"~* ; si l'on réunit tous ces termes du degré m — i , on reconnaît que le coefficient de

rc"'"^ est la somme des m quantités a, 6, c, A-, somme que,

pour abréger, nous désignerons par S^. Ainsi, le second terme du produit est Sia;'"""^

Prenons maintenant les seconds termes dans deux quelconques des facteurs binômes, et les premiers dans tous les autres, nous formerons les termes du degré m — 2, tels que abx'''~^f acjc"'~'S 6cx"'~-, etc. ; en réunissant tous ces termes nous voyons que le coefficient de a:"' ~'- est la somme S^ des

produits des m quantités a, 6, k deux à deux, de sorte que

le troisième terme du produit est S^sc"" ~ ^.

En prenant de même les seconds termes dans trois quelconques des facteurs binômes et les premiers dans tous les autres, on formera les termes du degré m — 3, tels que abcx''^"^, abdx''^~\ etc. Réunissant ces termes en un seul, et appelant S3

la somme des produits des quantités a, 6, A trois à trois,

on obtient le quatrième terme Sg^?'"""^ du produit.

En général, si l'on prend les seconds termes dans n quelconques des facteurs binômes et les premiers dans les m — n autres, on forme les termes du degré m — n; réunissant ces termes et représentant par Sn la somme des produits des m

quantités a, 6, k prises n à n, on a le terme général SnX'"^'"-

du produit.

On obtient les termes du premier degré en prenant les seconds termes dans tous les facteurs binômes, excepté un, et le premier dans cet autre ; ces termes réunis donnent l'avant-der-

nier terme du produit, S,„ia;. Enfin le produit abc k des

seconds termes de tous les facteurs binômes, produit que nous désignerons par S„j, donne le dernier terme du produit demandé.

Ainsi, le produit des m facteurs binômes se développe de la manière suivante ; a:'" -h SjX'»-^ -f- S^x"^-^ H- S„x'»-" -h S„j irr -h S^.