Supposons maintenant que les quantités a,b, c, k

soient égales entre elles, le produit des m facteurs binômes

devient (x 4- a)'". Voyons à quoi se réduit le développement :

la somme Si des quantités a, 6, c, , k est ma^ puisque

chacune de ces quantités devient égale à a et qu'il y en a m. La lettre 83 désigne la somme des produits de ces mêmes quantités deux à deux ; chacun de ces produits est égal à a% et il y en a un nombre marqué par le nombre des combinaisons de m lettres deux à deux, soit -^ — - — ^ ; leur somme 83

est donc égale à — a-. De même, 83 désigne la somme

des produits trois à trois ; chacun d'eux étant égal à a^ et leur nombre étant — o , leur somme est égale à

mjm — i) (m — 2)

En général, Sn désigne la somme des produits des m quantités a, h y c, , h prises /i à /i ; ces quantités devenant égales

à a, chacun des produits est égal à a"; leur nombre étant le nombre des combinaisons de m lettres n à n, on a

Enfin, le dernier terme, ou le produit des m quantités égales

a, 6, , /c, se réduit à a'".

On a ainsi la formule

connue sous le nom de formule du binôme. Elle est très fréquemment employée ; elle sert à former le développement d'une puissance quelconque d'un binôme. Le terme général, celui qui occupe le /i -h i® rang dans le développement, est, comme nous l'avons dit,

^^^ I. 2. 3 Al

Si, dans la formule (i), on remplace a par — a, on obtient le développement de {x — a)"%

(x — a)'" = x^'' — "^ a:c»^-* m(m— i)^^ x'« -2 — db a"" ;

les signes alternent.

63. Remarque I. — Dans la formule du binôme, les exposants de X vont en diminuant graduellement d'une unité ; ceux de a vont, au contraire, en augmentant ; la somme des exposants de [a et de x dans chaque terme est constamment égale à m.

Le nombre des termes du développement est m h- i ; car les exposants de x forment la suite des m premiers nombres entiers, plus l'exposant zéro du dernier terme,

en tout m ~h I termes.

64. Remarque II. — Les coefficients des termes également distants des extrêmes sont égaux. Si l'on écrit la formule du binôme en laissant les lettres qui marquent les nombres de combinai-

(x + a)'» = X'" -h Cl ax'"-' -t- Cl é- ^'"-2 -1-

H- G;;^-2 a'"-2 ^2 4- CZ"^ a'»-i x -h a»'.

Le premier terme et le dernier ont tous deux pour coefficients Tunité, le second terme et l'avant-dernier ont pour coefficients C^ et G;;*-^ ; mais, en vertu d'un théorème démontré (n^ 5^), \ ^ on sait que ces deux nombres sont égaux. De même les troisièmes termes, à partir des extrêmes, ont pour coefficients les nombres égaux G^ et G^-^ etc.

65. Remarque III. — Les coefficients se déduisent les uns des autres par une loi très simple : multipliez le coefficient du dernier terme obtenu par l'exposant de x dans ce terme et divisez par le rang de ce terme, vous aurez le coefficient du terme suivant.

yO LIVRE I. CHAPITRE VI

En effet, le n -4- i" terme du développement est