n — i] Il

le terme précédent

On déduit le /i H- i" terme du précédent en augmentant d'une unité l'exposant de a et diminuant d'une unité celui dex. Quant au coefficient, on le forme en multipliant le coefficient précédent par l'exposant m — n -h i de x dans ce terme précédent, et divisant par /î, rang de ce terme.

Exemples. — Il importe de s'exercer à développer rapidement la puissance d'un binôme. La règle que nous venons d'indiquer facilite beaucoup le calcul.

1° (x H- a)' = x' -{- '^ax^ -h 2ja'^x"' -+- Soa^x^

-+- Sba'^x^ -h 2ia''x^' -+- ^ja^'x -H «^

Pour passer du second terme au troisième, il faut multiplier par 6 et diviser par 2, ce qui revient à multiplier par 3. Pour passer du troisième terme au quatrième, il faut multiplier par 5 et diviser par 3 ; on divisera d'abord 21 par 3, ce qui donne 7, et l'on multipliera par 5, ce qui fait 35. Le développement contenant 7 H- I ou 8 termes, et les coefficients des termes également distants des extrêmes étant égaux, il suffit de trouver les quatre premiers ; les quatre autres sont les mêmes en ordre inverse.

30 (;^ 4 af = x" -h Hax"^ -h 28rt2j'« -h ■ô(Sa'x^

-h 70«*x* -H 5Ga^a-=^ H- 28aV^ -t- 8a V h- a^

Le développement contient 9 termes ; il est nécessaire de calculer les cinq premiers ; arrivé au terme 7oa'*x*, on remarque que les coefficients se reproduisent.

30 (^ rt)»i rzr: x'^ — I io-t'^ H" 55aV' — i65a'^a^»

-h SSoa^j-^ — 402a^x« + k(S2a''x' — 33o«lx^ 4- i^ha^x' — 55a^x2 ^ iiai°x — «'^

Le nombre des termes étant pair, le dernier terme a le signe

FORMULE DU BINOME jt

— , et les termes égalements distants des extrêmes sont affectés de signes contraires.

40 1^^ — ^^2 ^= x*^ — i2ax^^ -h 66a^x^^ — 2 2oa'x* -f- ^gba^x^ — 792a^x' H- çi2^a^x^ — 792a'^rr^ -h ^g^a^x'* — 22oa^x* -+- Ù6a^^x'^ — I2a^^x -f- a^^.

Le développement contenant un nombre impair de termes, le dernier a le signe +, et les termes également distants des extrêmes sont affectés du même signe.

66. Remarque IV. — Les coefficients vont en augmentant du commencement jus qu au milieu du développement et en diminuant du milieu à la fin. En effet, le rapport du coefficient du /i 4- i** terme à celui du terme précédent est, comme nous l'avons dit,

C'est par ce rapport que l'on multiplie le coefficient du n" terme pour former celui du ai -h i" terme. Les coefficients vont en croissant tant que le multiplicateur reste supérieur à l'unité ; ils vont, au contraire, en décroissant quand ce multiplicateur devient inférieur à l'unité. Posons donc

et résolvons cette inégalité par rapport à n, nous aurons

La fraction désie:ne la moitié du nombre des termes

du développement : ainsi les coefFicients vont en croissant jusqu'au milieu. A partir du milieu, l'inégalité change de sens et les coefficients décroissent.

Il y a deux cas à distinguer : 1° lorsque m est pair, le nombre des termes m + i est impair : il y a, au milieu, un coefficient plus grand que tous les autres. Ainsi, dans le développement de (x -\- i)% dont nous n'écrivons ici que les coefficients

le coefficient 70 est le plus grand : 2° lorsque m est impair, le nombre des termes est pair ; il y a, au milieu, deux coefficients égaux plus grands que tous les autres. Ainsi, dans le développement de [x 4- a)'', dont les coefficients sont

les deux coefficients 35 du milieu sont les plus grands.

Ce qui précède donne une propriété des combinaisons qu'il est bon de remarquer. On demande, par exemple, de quelle manière il faut combiner huit objets pour avoir le plus grand nombre de combinaisons. Il est clair qu'il faut les combiner 4 à /i ; car les coefficients du développement de {x -h a)% à partir du second, sont le nombre de combinaisons que l'on peut former avec 8 objets, en les prenant i à i, 2 à 2, 3 à 3, etc. ; le plus grand coefficient étant le cinquième, il en résulte que le nombre des combinaisons des 8 objets 4 à /i surpasse les autres nombres de combinaisons. De même, avec 7 objets, on obtient, le plus grand nombre de combinaisons en les prenant 3 à 3 ou

67. Remarque V. — Si, dans le développement de {x -h a)'», on fait X = 1 et a = i , chaque terme se réduit à son coefficient, et l'on a

Ainsi, la somme des coefficients du développement est égale à 2'".

En retranchant le premier coefficient qui ne désigne pas un nombre de combinaisons, on en conclut que le nombre total des combinaisons qu'on peut faire avec m objets^ en les prenant de toutes les manières possibles, soit i à i, soit 2 à 2, etc., est

G', + Cl H- Cl -f- -f- a^ = 2-- 1.

68. Remarque VI. — Si, dans le développement de {x — a)»", on fait X = 1 et a = ] , on a

^m ^,u -T~ -I- '-'JM»

FORMULE DU BOOME "jS

d'où l'on déduit

G^ -4- Cf„ -4- == i-H Q„ + Gf„ -h

Ainsi, quand on forme toutes les combinaisons possibles avec m objets, le nombre des combinaisons qui renferment un nombre impair d'objets surpasse d'une unité le nombre des combinaisons qui renferment un nombre pair d'objets. Si donc on appelle u et v ces deux nombres de combinaisons, on a

On en déduit

Par exemple, avec lo objets, on peut former en tout 2'" — i, c'est-à-dire 1028 combinaisons. Parmi ces combinaisons, 5i2 contiennent un nombre impair d'objets, 5i i un nombre pair.

69. Somme des carrés des coefficients du binôme. — Dans le produit du développement de (x -h i)" par lui-même, le coefficient du terme en x^ est égal à la somme des carrés des coefficients du binôme. On le voit simplement en écrivant

(x4- i)" = ^"-i-Gia:«-i -+- G2x"-2-h -|-C;Î

(i-+-j-)«=i -^Clx -h 02^2 H- -+-G>»

et en multipliant membre à membre; dans le produit des seconds membres, le coefiicient du terme en x^ est

1 + (C,)' + (qy^ + ^-(c;)^

Mais le produit des premiers membres est évidemment identique di[x -\- i)'-^". La somme cherchée s'obtient donc en prenant le coefficient du terme en ^" dans le développement de {x -f- i)2".

Elle est donc égale à C"„, c'est-à-dire à