PERMUTATIONS AVEC RÉPÉTITION
70. — Nous avons désigné par P^ le nombre des permutations que l'on peut former avec m lettres, quand toutes les^ lettres sont différentes. Supposons maintenant que, parmi ces-
m lettres, il y en ait a égales à a, les lettres b, c, d^ étant
différentes ; voyons à quoi se réduit le nombre des permutations. Appelons x le nombre des permutations différentes que l'on peut former avec les m lettres proposées, parmi lesquelles a sont égales à a. Si, dans chacun de ces arrangements, on laisse 6, c,
(/, à leurs places, et si l'on permute entre elles les a lettres
a, on n'apportera aucun changement apparent dans l'arrangement ; mais, si on affecte les lettres a d'indices, si on les désigne par
afin de les distinguer les unes des autres, chacun des x arrangements précédents produira Pa arrangements distincts. Gomme on a maintenant m lettres différentes, on a formé de la sorte les P„i permutations des m lettres différentes. On a ainsi
d'où
Par exemple, avec les lettres a, a, b, dont deux sont égales
PERMUTATIONS AVEC RÉPÉTITION yB
à a, on ne peut former que p^ , c'est-à-dire 3 permutations différentes.
aab, aba, haa.
Pour reprendre le raisonnement sur cet exemple, afin de le rendre plus sensible, affectons d'indices les deux lettres a et permutons les deux lettres a^ et a^ ; le premier arrangement aah fournira deux arrangements distincts a^a^b, a^afi ; le second aba fournira de même aiba^, a^bai ; le troisième donnera 6aia2' ^^2^1 î on aura formé ainsi les six permutations
a^a^b^ «i6«2, ba^a^^ CL^a^b, ci-iba^, ba^a^^
des trois lettres différentes a^, a->, h.
Supposons maintenant que, parmi les m lettres, il y en ait oc égales à a et jS égales à 6, les autres étant différentes, et appelons X le nombre des permutations que Ton peut former avec ces m lettres. Si l'on affecte d'indices les |5 lettres 6, afin de les distinguer les unes des autres, et que, dans chacun des arrangements précédents, on permute ces j3 lettres, chacun de ces x arrangements fournira Pp arrangements distincts, et l'on aura en tout a; X Pp arrangements ; ce sont les permutations de m lettres, parmi lesquelles a sont égales à a, les autres étant diffé-
Pm
rentes ; le nombre de ces permutations étant égal à p^' , on a
X X Pp = pf;
d'où
On peut continuer le même raisonnement. Si, parmi les m lettres, a sont égales k a, ^ h h, y h c, les autres étant différentes, le nombre des permutations que l'on peut former avec ces m lettres sera exprimé par la formule
^^^ ivpypy'
et ainsi de suite.
Par exemple, si l'on a cinq lettres a, trois lettres 6, deux lettres c et une lettre (/, avec onze lettres on peut former un nombre de permutations marqué par
^\^s^-2^i ~ I-2.3.A.5 x~i72:s^xi::^x~i = ^^t^o.
