COMBINAISONS AVEC REPETITION

chaque combinaison contient n lettres, différentes ou non ; le nombre des combinaisons étant représenté par D'^, le nombre total des lettres écrites dans le tableau est /i x D^ ; les m lettres y entrant toutes le même nombre de fois, l'une d'elles, par exemple la lettre a, y entre un nombre de fois marqué par

~, Mais on peut trouver ce nombre d'une autre manière ;

mettons à part les combinaisons qui contiennent la lettre a, et de chacune d'elles ôtons la lettre a une fois, il nous restera évidemment les combinaisons des m lettres n — i à n — i avec répétition, combinaisons dont le nombre est D,,^~* ; en vertu du raisonnement précédent, la lettre a entre dans ces combinai-

sons un nombre de fois marqué par

(^— i) X D,Jî-

si l'on

ajoute maintenant à chacune d'elles la lettre a supprimée, pour rétablir les combinaisons primitives, on voit que la lettre a entrera dans le tableau un nombre de fois marque par

(n OxD,r'^D„, <,^

{pi -H n i) X D,;;-^

n a donc

OU

On en déduit, en donnant successivement à n les valeurs

2, 3 , Ry

D^ = Dl X DL = Di X

T\n rv n

Si l'on multiplie toutes ces égalités entre elles, les facteurs in-

termédiaires disparaissent, et l'on obtient la formule //.^ Vit __ m(m -h i) (m -4- a) (m -j- n — i)

Dans les combinaisons ordinaires, dont le nombre est designé par G",, le nombre 11 des lettres qui entrent dans chaque combinaison ne peut surpasser le nombre m des lettres données. Mais, quand on répète une même lettre autant de fois qu'on le veut, rien n'empêche que n ne soit plus grand que m.