PUISSANCE D'UN POLYNOME

72. — Proposons-nous actuellement d'eflectuer le développement de la puissance d'un polynôme,

[a -^ h -\- c -h- ky,

c'est-à-dire d'effectuer le produit de m polynômes égaux entre €ux. On sait que le produit de plusieurs polynômes est la somme des produits que l'on obtient en prenant un terme dans chacun d'eux, de toutes les manières possibles. Si nous prenons la lettre a dans a facteurs, la lettre h dans ^6 autres, la lettre c dans y autres, etc., nous aurons un terme de la forme

aV^J ;

la somme des exposants, ou le degré du terme, est constamment égale à m. Il est évident que l'on obtient plusieurs fois ce même terme, autant de fois que l'on peut former d'arrangements avec a lettres égales k a, fj lettres égales à b, y égales à c, etc. ; car à chacun de ces arrangements correspond une manière particulière d'obtenir le terme a'b^c^ ; en réunissant ces termes

égaux, on aura

Le développement peut donc être représenté par la formule

(5) (a + 6 + c + .. -^ kyn ^^ __ J^-^ ^a^^,j ^

PUISSANCE d'un polynôme

le signe 1 indiquant une somme de termes de la même forme.

Toutefois, si l'un des exposants a, jS, 7 , devient égal à

zéro, il faut convenir que le symbole Pq, qui n'a aucun sens par lui-même, sera remplacé par l'unité. Supposons, par exemple, a = o; on prend la lettre b dans ^ facteurs, la lettre c

dans y facteurs, etc. ; le terme b^^ct , dans lequel la somme

jS -4- y H- des exposants est égale à m, est répété un nombre

de fois marqué par le nombre des permutations que l'on peut

former avec j3 lettres 6, y lettres c ; ce nombre est p~^

la formule générale conviendra, si l'on remplace Pa ou P^ par l'unité.

73. — Il est facile de trouver le nombre des termes du développement. Désignons par p le nombre des termes du polynôme que Ton élève à la m*'. puissance. Chaque terme du développement, abstraction faite du coefficient, est de la forme

ra%^c^ , ou

aaa bbb ce ;

il contient m lettres en tout ; c'est une combinaison m h m des

p lettres a, b, c, k, avec répétition ; le nombre des termes

I du développement est donc égal au nombre des combinaisons de p lettres m k m avec répétition, c'est-à-dire à

Ce nombre est égal au nombre des combinaisons dep -h m — i lettres m km sans répétition ; mais on sait que Cp^^-i = Gjj:pJn-i ; on aura donc /^^ n'" — (m -\- i) (m -^ 2) (m -\- p — i)

^'^ ^~ 1.2 (T^^^nô •

On appliquera l'une ou l'autre de ces formules, suivant les cas.

74. — Considérons en particulier le carré (a d'un polynôme, ou le produit

de deux polynômes égaux. Si l'on prend la même lettre a dans les deux polynômes, on a le terme a^ ; comme on ne peut obtenir ce terme que de cette manière, son coefficient est l'unité. Si l'on prend une lettre a dans l'un des polynômes, et une autre lettre b dans l'autre, on a le terme ab ; il est évident que ce terme peut être obtenu de deux manières, soit qu'on prenne la lettre a dans le premier polynôme et la lettre b dans le second, ou la lettre a dans le second et la lettre b dans le premier ; ces deux manières correspondent aux deux arrangements ab et ba ; le coefficient de ce terme sera donc égal à 2, et l'on aura 2ab. On conclut de là que le carré d'un polynôme est égal à la somme des carrés de tous ses termes, plus deux fois la somme des produits des termes deux à deux.

Considérons encore le cube (a H- 6 -h c y d'un polynôme. D'après la formule générale (5), le développement contiendra trois sortes de termes : i" des termes de la forme a^ ayant

pour coefficients l'unité ; 2° des termes de la forme a^b ayant

p pour coefficients p-p- ou 3 ; 3° des termes de la forme abc,

ayant pour coefficients p-rner ou 6. On en conclut que le cube

d'un polynôme est égal à la somme des cubes de ses différents termes, plus trois fois la somme des produits que l'on obtient en multipliant le carré d'un terme quelconque par un autre terme, plus six fois la somme des produits des termes trois à trois.

Si l'on appliquait la formule générale (5)^ au développement de la puissance d'un binôme, on aurait

(a + 6)'» =2 FÎT «'''^-

Cette formule est la même que celle trouvée précédemment n° 62), puisque a -h /5 = m, et que (n° 59)

^ m fa fm — a

RACINE d'un polynôme 8i