RACINE D'UN POLYNOME

75. — Proposons-nous d'abord d'extraire la racine carrée d'un polynôme entier P, ordonné suivant les puissances décroissantes d'une lettre x ; nous supposerons qu'il existe un polynôme entier qui, élevé au carré, reproduise exactement le

polynôme proposé. Représentons par les lettres a, 6, c les

différents termes de ce polynôme racine, ordonné aussi suivant les puissances décroissantes de x. Nous aurons

P=:(a + 6-Hc-H Y

Le terme a^ étant d'un degré plus élevé que tous les autres termes du développement, et ne se réduisant par conséquent avec aucun autre, est égal au premier terme du polynôme P ; on obtiendra donc le premier terme a de la racine, en extrayant la racine carrée du premier terme du polynôme proposé. Si du polynôme on retranche le carré du premier terme de la racine, et si Ton appelle R le reste, il vient

Dans le second membre, le terme de degré le plus élevé est lab ; il doit être égal au premier terme du reste R. On obtiendra donc le second terme b de la racine en divisant le premier terme du reste R par 2a, c'est-à-dire par le double du premier terme de la racine.

Si l'on groupe maintenant les deux premiers termes de la racine, qui sont connus, on a

= (a-^by -h 2(a-+-6)(c + fiH- ) -+- (c -+- c/ H- y.

En retranchant du polynôme proposé le carré de la somme des deux premiers termes de la racine et appelant R' le nouveau reste, on a .

Briot — Laçrns d'Algèbre 6

82 LIVRE I. CHAPITRE Vil

Dans le second membre, le terme de degré le plus élevé est 2ac ; il doit être égal au premier terme du polynôme R' ; on obtiendra donc le troisième terme c de la racine en divisant le premier terme du second reste R' par 2a, c'est-à-dire par le double du premier terme de la racine.

Si l'on groupe actuellement les trois premiers termes de la racine, qui sont connus, on a

Retranchons du polynôme proposé le carré de la somme des trois premiers termes de la racine, et appelons R" le nouveau reste, nous aurons

ir = 2 (a + ^ H- c) (ci -f- e -i- ) + (f/ -f- ^ + )'-,

Le premier terme de ce reste est égal a 2a(l ; si on le divise par 2a, on obtiendra le quatrième terme d de la racine.

On continuera de cette manière jusqu'à ce qu'on arrive au dernier terme de la racine. Ce dernier terme de la racine peut être obtenu en extrayant la racine du dernier terme de P.

Il est clair qu'on peut changer les signes de tous les termes de la racine, ce qui ne change pas le carré.

On peut simplifier un peu le calcul des restes, comme on le fait en arithmétique. Quand on a trouvé les deux premiers termes de la racine, il faut, du polynôme proposé, retrancher {a -i- b)\ c'est-à-dire a" -\- 2ab -+- 6- ; comme on a déjà retranché à-, il suffit de retrancher du reste la quantité 2ab H- b^ ou (2a -h b)b. De même, quand on a trouvé le troisième' terme c, il faut, du polynôme proposé, retrancher (a + 6 -h c)^ c'est-à-dire (a -h b)' ^ 2 (a -4- t) c -i- c2 ; comme on a déjà retranché [a -h by, il suffit de retrancher du second reste R' la quantité 2 (a -\- b) c -^ c- ou (2a -h 26 H- c) c. En général, quand on aura trouvé un nouveau terme de la racine, à la droite du double de la partie précédemment obtenue, on écrira ce nouveau terme, on multipliera par ce terme, et l'on retranchera le produit du reste précédent. Considérons par exemple, le polynôme