AB, ... A,B„ A„B

dont chacun est intérieur au précédent, et la moitié du précédent. Les abscisses des points A, Aj, Ag, ... sont des nombres rationnels de la classe (a), et les abscisses des poinls B, Bj, B^, ... sont des nombres rationnels de la classe (i^). D'ailleurs la longueur de A„B,i diminue indéfiniment, puisque chaque segment est la moitié du précédent.

Soit L le point de OX qui appartient à tous les segments de la suite précédente. Il ne peut y avoir à droite de L aucun point dont l'abscisse soit un nombre rationnel de la classe (a) ; en elTet, s'il y avait un point a de cette espèce à droite de L, on pourrait prendre le nombre n assez grand pour que le point B« soit à gauche du point a, puisque le segment LB« est plus petit que le segment La lorsque n est assez grand. L'abscisse de B„ serait donc inférieure à l'abscisse de a ; ce qui est impossible. On voit de même qu'il ne peut y avoir à g^-uche de L aucun point dont l'abscisse soit un nombre rationnel de la catégorie (,3).

Le segment OL ne peut avoir de commune mesure avec le segment choisi pour unité ; en effet, si l'abscisse du point L était un nombre rationnel de la classe (a) par exemple, ce nombre serait plus grand que tout autre nombre rationnel de la même classe ; ce qui est en contradiction avec l'une des propriétés que nous avons supposées aux deux classes de nombres

(a) et (|S). Pour la même raison, le point L ne peut être un point d'abscisse rationnelle de la classe (/3). Au segment OL correspond par conséquent un nombre irrationnel i qui est précisément défini par la division des nombres rationnels entre les deux catégories (a) et (^B) dont nous sommes partis.

En résumé, à tout point A de la demi-droite OX correspond un nombre rationnel ou irrationnel, que l'on appelle l'abscisse de ce point ; et inversement tout nombre rationnel ou irrationnel est l'abscisse d'un point déterminé de OX.

Plus généralement, un nombre irrationnel définit une grandeur parfaitement déterminée quand on a choisi une grandeur de même espèce pour unité. Etant donnés deux nombres irrationnels f, /', il est naturel de dire que i est plus petit que /' si le segment qui correspond au nombre / est plus petit que le segment qui correspond au nombre i' . Il y a alors une infmité de nombres rationnels plus grands que i et plus petits que /'.

5. — On est aussi conduit à la décomposition des nombres rationnels en deux catégories par des théories purement arith- ^ métiques. Soit N un nombre entier non carré parfait, par exemple le nombre 3 ; il n'existe, comme on le démontre en arithmétique, aucun nombre rationnel dont le carré soit égal à 3. Nous pouvons donc partager les nombres rationnels en deux catégories (a) et (p), la première comprenant les nombres rationnels - dont le carré est plus petit que 3, la seconde comprenant les nombres rationnels ^ dont le carré est supérieur à 3.

Cette décomposition satisfait bien aux conditions voulues pour définir un nombre irrationnel. D'abord un nombre quelconque

^^ de la catégorie (a) est plus petit qu'un nombre quelconque -7

de la catégorie {[j) ; en effet, des inégalités

on déduit (^) < (l^y, et par suite ^~<^~r

En second lieu, étant donne un nombre - de la première catégorie, on peut toujours trouver un nombre de la même catégorie galité

gorie plus grand que - . Soit n un nombre entier positif, l'iné-

<-3, ou A + Hi'o-e;

^- ' n- qn q-

sera certainement satisfaite si l'on a

n- qn q-

car le nombre entier positif 3ry- — p- est au moins égal à un. L'inégalité précédente peut encore s'écrire, en cbassant les dénominateurs,

q- -h 2pqn -< 7i*

ou

{n-pqy->f{i-+-p%

Soit A^ un nombre entier carré parfait plus grand que H- p-. La condition sera certainement satisfaite, si Ton a

{n — pqf > r/2A2, ou n > pq -\- qK

et il suffira de prendre pour n un nombre entier plus grand que pq H- ^A pour que le carré de - -+- - soit inférieur à 3. On verrait de même que, parmi les nombres rationnels dont le carré est plus grand que 3, il n'en est aucun qui soit plus petit que tous les autres.

Le nombre irrationnel ainsi défini est désigné par la notation \/3. Ce symbole y/S représente une longueur incommensurable parfaitement définie, quand on a adopté une unité de longueur. On verrait de même que si ^ est un nombre rationnel, qui n'est pas la puissance n^ d'un nombre rationnel, on définit un nombre irrationnel en rangeant dans une catégorie

les nombres rationnels dont la puissance n'' est inférieure à -, et

dans une autre catégorie ceux dont la puissance n" est supérieure à ^- . On représente ce nombre irrationnel par le symbole y ^- •