r« — 'lox^ -+- 89.T* — 860:^ -I- 58.t2 2/,^. ^ f

RACINE d'un polynôme 83

Pour que ce polynôme soit le carré d'un polynôme entier, il faut d'abord que le premier et le dernier terme soient des carrés parfaits : c'est ce qui a lieu ici. Si le polynôme racine existe, son premier terme sera ^x^, son dernier terme ± 3. En effectuant l'opération comme nous l'avons dit, on arrive au dernier terme — 3, et à un reste nul. La racine cherchée est ^x^ — ']x'^ -^ [\x — 3.

25aî^ — 70x^ H- ^(^x'' — 86x^ -h 58x'^ — 34^4-9

4ox* — 86a;^-f- 58j:^ — i[\x — 9 lox^ — i4x^+ t\x ■4ox*H-56a:^ — \Çix^ lox^ — i4a?^H-8x — 3

dtOX^ -h 4 3X'^ 24^-1-9

3oiC^ [\2X^ -h 24a? 9

76. — On suivra une marche analogue pour l'extraction de la racine m" d'un polynôme. Supposons toujours le polynôme P ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x, et appelons encore a, h, c, les différents termes de la racine. On a

rrrr «'" -| ma»»-! (6 -f- C -H . . .) + ^^ (^~ 0 ^m -2 (^ | ^ 4 , . .)2 ^ . .^

Le premier terme du polynôme proposé est égal à a'" ; en extrayant la racine m" de ce premier terme, on obtiendra le premier terme de la racine. Si du polynôme on retranche a'", on a

R = ma^-' (6 + c 4- ...) + 'M^LZli) a^n-2 (6 + c + ...f -+- ...

le premier terme du reste R est égal à ma''^"^ h : en divisant ce premier terme par mà"'~~^, on obtiendra le second terme h delà racine. Considérons maintenant l'expression

et retranchons (a 4- 6)"% nous aurons un reste :

dont le premier terme est ma''' — ^c ; en divisant ce premier terme par ma"'~~\ on obtiendra le troisième terme c de la racine et ainsi de suite.