APPLICATIONS DE LA FORMULE DU BINOME

77. — Somme des puissances semblables des n premiers nombres.

Soit :

Sj^ = iP -\- 2P -i- -^nP.

Proposons-nous de calculer S^, n et p étant supposés connus.

Considérons l'égalité fournie par le développement de la puissance (p -^ lyde k -^ i

(A: -H i)p-i-^ = kP+' + G>+i kP -+- GJ+i kP-' -+- + Cj;+, k + i

dans cette égalité remplaçons successivement A: par i, 2, /i — i, n nous obtenons :

22^+1 = iP+i -H GJ+, i^ -h G?+i i^-' -t- -+- C^+i I + I

3P+1 ^ 3^+1 ^ GJ+i 2P + GJ+, 22»-' -h -h Gj:+, 2 -h I

(n 4- i)î>+^ = 7iP+* -i- Gi+i /i^' -+- GJ+i n?'-^ -h -h GJ+j /i H- I

et ajoutons membre à membre ces égalités : 2^+^ /2^+^ disparaissent et il vient

(^ H i)P+i = I + Gi+, S, + G^+, S,, + -h G|;+, S, -+- n.

Cette formule permet de calculer Sp quand on connaît S^, S^ Sp i et comme on connaît Sj = " a ^^ ^n pourra

calculer de proche en proche Sj, S3 Sp.

Comme application calculons la somme des carrés des n premiers nombres. Partons de l'égalité

remplaçons-y successivement ai par i, 2 ...., n et ajoutons les égalités ainsi obtenues, il vient

(n -\- ly = 1 -H 3S, -t- 3S, -h n