APPLICATIONS DE LA FORMULE DU BINOME

OU

ou

jj 2M^ + 3n^ -+- n n(n -h i) (an -h i)

Pour calculer la somme des cubes des n premiers nombres, nous modifierons un peu le procédé pour montrer comment le calcul précédent peut être simplifié.

Partons de l'égalité

I I (/,■ + 1)4 __ (A:— i)* I := Zi/,3 .^ 4/,,

remplaçons -y successivement k par i, 2, ... /i ; il vient

i I (71 -+- ly — (n—iyl = liii' H- 4n.

Si nous ajoutons membre à membre ces égalités, 2^, 3*

(n — i)* disparaissent et il vient

n* H- 2/1^ -h 3/1^ -h 2n — 211 (n -\- i) =^ 4S3. D'où :

Remarque. — S^, s'exprime par un polynôme entier en n s'annulant pour ai = o et tel que si l'on considère les valeurs de ce polynôme pour n et pour n — i , l'excès de la première valeur sur la seconde est n^'. On le vérifie pour Si, Sj, S3, et on le démontre aisément de proche en proche.

C'est une propriété caractéristique des polynômes qui se présentent ici, et qu'on nomme quelquefois polynômes de Bernouilli.

SOMME DES PUISSANCES SEMBLABLES DES TERMES D'UNE PROGRESSION ARITHMÉTIQUE