CHAPITRE PREMIER

DÉTERMINANTS

79. — La notion de déterminant se présente quand on cherche à résoudre un système de n équations du premier degré à n inconnues.

Supposons qu'on sache résoudre un système de deux équations du premier degré à deux inconnues et proposons-nous de résoudre par la méthode des coefficients indéterminés les 3 équations à 3 inconnues

ax -h hy -i- cz -}- d = o, a'x H- h'y -h c'z -H d! =^o, a!'x -h 6''j-f- c"z-^d!'\=^o.

Ajoutons les premiers membres de ces équations après les avoir multipliés respectivement par des coefficients indéterminés, X, /x, V. Si dans l'expression ainsi obtenue

{dk -t- aV + «"v) X -f- {h\ -H h' Il -4- ^/v) J -f- (cX -h cV H- c"v)c -h (dk H- d'il -+- (/"v) =z û .

on pouvait annuler deux des coefficients, ceux de a; et de j par exemple, l'inconnue z resterait seule et pourrait ainsi être déterminée.

Mais les deux équations en )., \x, v que nous avons ainsi à

DÉTERMINANTS 89

considérer se ramènent à deux équations à deux inconnues. En résolvant ces dernières, on sera conduit aux deux identités :

a{a'b" — b'a") + a'{a"b — b"a) -^ a!'{ab' — ba') = o h[a'b" — b'c^') -f- b\d'b — b"a) -H b"{ab' — ba') ^ o

dont la vérification directe se fait immédiatement. Multiplions donc les premiers membres des équations données respectivement, par

(a'b" — b'a!') {a"b — b"a) {ab' — ba')

et ajoutons : dans la somme, les coefficients de a; et de y seront nuls d'après les identités précédentes, le coefficient de z sera

A = c{a'b" — b'a") -h c'{a"b — b"a) + d'{ab' — ba').

80. — Nous formerons de même une combinaison des équations données ne contenant plus que x en ajoutant les premiers membres après les avoir multipliés respectivement par

h'c" — c'b" b"c — c"b bc' — cb' et dans la combinaison le coefficient de x :

a[b'c" — c'b") -{- a'(b"c — c"b) H- a"{bc' — cb')

sera encore A, comme on le vérifie sans peine.

Enfin si nous ajoutons les premiers membres des équations données après les avoir multipliés respectivement par

c'a" — a'c" d'à — d'c ca' — ac'

la combinaison ne contiendra que y et le coefficient de y

b[c'a" — a'c") + b'(c"a — a"c) -h b"{ca' — ac')

sera encore A.

C'est cette fonction A des coefficients des inconnues dans les équations données qui se nomme le déterminant de ces coefficients.

Cherchons une règle qui donne le développement de A quand on connaît le tableau des coefficients des inconnues et qui puisse se généraliser pour un système de n équations à n inconnues. Nous avons besoin pour cela des remarques et des définitions suivantes.

go LIVRE II, CHAPITRE I

81. — Etant donné un tableau de n- éléments rangés suivant n lignes horizontales et suivant n colonnes verticales, on fait correspondre à chaque élément de ce tableau deux indices rappelant le rang de la ligne et le rang de la colonne à laquelle il appartient.

Par exemple dans le tableau

abc a' h' c'

c' se trouvant dans la 2^ ligne et la 3" colonne aura pour indices 2 et 3. Nous écrirons ces indices l'un au-dessous de l'autre en mettant en bas l'indice de la ligne ; à c correspondent donc les indices l.

D'après cela, si l'on écrit dans un ordre déterminé n éléments <lu tableau, on aura une suite de n indices de lignes et une suite de n indices de colonnes rangés dans un ordre déterminé. Par

exemple aux éléments

du tableau précédent correspondent les deux suites d'indices

82. — On dit que deux indices présentent une inversion quand le plus grand est placé le premier : ils sont alors rangés dans un ordre inverse de celui qui leur correspond dans la suite des nombres naturels. On dit de même que deux lettres présentent une inversion quand elles sont rangées dans l'ordre inverse de l'ordre alphabétique.

Pour compter le nombre total des inversions de la suite de

lettres

ctjafedh^

on compare l'une des lettres / par exemple successivement à

chacune de celles qui viennent après elle dans la suite et on écrit

au-dessous de /le nombre 3 des inversions correspondantes, un

répète la même opération pour chaque lettre ; on obtient ainsi

la suite :

DETERMINANTS

puis on ajoute les nombres ainsi obtenus ; on trouve ainsi, pour l'exemple choisi, i3 inversions.

On dit que deux permutations sont de même classe si pour -ces deux permutations les nombres totaux d'inversions sont de même parité. — On dit qu'elles sont de classes différentes si ces deux nombres sont de parité différente.

83. — Une permutation, change déclasse quand on y échange deux éléments.

Supposons d'abord que les éléments échangés soient deux éléments consécutifs. Prenons comme exemple la permutation

cgafedb ; •échangeons les éléments a et /, ce qui donne la nouvelle permutation

cgfaedb.

Quand on passe de la première permutation à la seconde, l'ordre dans lequel sont rangées deux lettres quelconques ne change pas, un seul cas excepté, celui oii les deux lettres sont précisément les deux lettres échangées ; le nombre total des inversions varie donc exactement d'une unité, la parité de ce nombre change. Les deux permutations sont de classes différentes.

Supposons maintenant que les deux éléments ne soient pas •consécutifs.

Soient a le premier de ces deux éléments, |3 le dernier des deux etp le nombre des éléments compris entre a et |3. Pour échanger a et jS nous pouvons faire passer ^j successivement devant chacun des p éléments intermédiaires, puis faire passer a successivement derrière p, et derrière chacun des p éléments intermédiaires. Gela donne en tout p H- (p + i) ou 2/? H- i échanges de deux éléments consécutifs. A chacun de ces échanges la permutation change de classe ; il y a un nombre impair d'échanges. Donc en définitive la classe de la permutation est changée.

84. — Nous pouvons maintenant donner la définition d'un déterminant :

Etant donnés n^ éléments rangés suivant n lignes et suivant n colonnes, on appelle déterminant de ces n- éléments la somme algébrique de tous les termes qu'on peut obtenir en prenant un élément et un seul dans chaque ligne et dans chaque colonne, les multipliant l'un par l'autre et faisant précéder le produit d'un signe choisi d'après la règle suivante :

On écrit dans un ordre quelconque les éléments qui figurent comme facteurs dans le terme considéré du déterminant, et à côté de chacun d'eux l'indice de la ligne et l'indice de la colonne correspondante. On forme ainsi deux permutations d'indices. Si les deux permutations sont de même classe, on choisit le signe -h ; si elles sont de classes différentes, on choisit le signe — .

85. — Pour défmir le signe d'un terme du déterminant, on a supposé rangés dans un certain ordre les éléments qui figurent comme facteurs dans ce terme ; nous allons montrer qu'on obtient le même signe quand on considère les mêmes éléments rangés dans un autre ordre.

Pour le prouver, il suffit de faire voir qu'on peut, sans changer le signe, échanger deux éléments.

Supposons donc les n éléments rangés dans un certain ordre et soient :

Colonnes ol' ^' y' V

Lignes a p y X

la suite des indices de colonne et la suite dès indices de ligne correspondantes. Si nous échangeons deux éléments arbitraires, le premier et le troisième par exemple, nous devrons en même temps échanger le premier et le troisième indice dans chacune des deux permutations. La classe de chaque permutation se trouve changée. Si donc les deux permutations étaient de même classe, elles seront encore de même classe ; si elles étaient de classes différentes, elles seront encore de classes différentes, et le signe à choisir restera le même.

On déduit de la un premier procédé pour obtenir tous les termes du déterminant. On supposera pour chaque terme les n

DETERMINANTS

éléments rangés dans un ordre tel que les indices de lignes soient rangés dans l'ordre naturel, et par suite ne présentent pas d'inversion. Alors la suite des indices de colonne sera une des permutations des n premiers nombres, et suivant que le nombre des inversions présentées par cette permutation sera pair ou impair, on devra faire précéder du signe -+- ou du signe — le produit des n éléments considérés. En prenant pour suite des indices de colonnes successivement chacune des permutations des n premiers nombres, on aura tous les termes du déterminant.

Notation. — Le déterminant se représente en écrivant entre deux barres verticales le tableau de lï^ éléments qui a servi à sa définition. L'ordre du déterminant est égal au nombre des lignes ou des colonnes de ce tableau.

Exemples :

= ab'

^ba'.

= ab'c"

a"bc'

— a'bc" -h a'b"c — a"b'

86. — Etant donné un tableau de n^ éléments rangés suivant n lignes et suivant n colonnes, changer dans ce tableau les lignes en colonnes et les colonnes en lignes, c'est former un nouveau tableau en écrivant à la ligne p et à la colonne q de ce nouveau tableau l'élément qui se trouvait à la ligne ^ et à la colonne p dans le tableau donné.

Théorème. — Un déterminant ne change pas quand on y change les lignes en colonnes et les colonnes en lignes.

Par exemple :

soit D le déterminant donné et D' le déterminant obtenu en changeant dans D les lignes en colonnes et les colonnes en lignes. Nous allons démontrer que tout terme de D se trouve dans D' avec le même signe. Considérons donc un terme de D et supposons rangés dans un ordre quelconque les éléments qui