CHAPITRE I
figurent comme facteurs dans ce terme ; soient :
(Colonnes) a.' ^' ^ X'
(Lignes) a ^ y X
la suite des indices de colonnes et la suite des indices de lignesde ces cléments.
Considérons dans le déterminant D' le terme qui est défini par les deux suites :
(Colonnes) a 6 ., X
(Lignes) cc^ [3' f X'
la première donnant les indices des colonnes, la seconde lesindices des lignes : ces deux suites définissent bien un terme de D', puisque chacune d'elles doit contenir dans un certain ordre les nombres i, 2, n.
On voit de suite que les deux termes considérés sont formés des mêmes éléments ; de plus, le signe dont il faut faire précéder le produit de ces éléments est le même dans les deux cas, puisque les deux suites à comparer sont les mêmes.
Donc, D et D' sont composés des mômes termes et par suite sont égaux.
87. — Etant donné un tableau de n^ éléments rangés suivant n lignes et suivant n colonnes, échanger dans ce tableau les colonnes /) et </, c'est former un nouveau tableau tel qu'une colonne de ce tableau dont l'indice n'est ni p ni q est composée de la même manière que la colonne de même^ândice du tableau donné et de plus que la colonne p et la colonne q du nouveau tableau sont composées respectivement comme la colonne q et la colonne p du tableau donné.
Théorème. — Un déterminant chamje de signe quand on y échange deux lignes ou deux colonnes.
Par exemple :
Soit D le déterminant donné et D' celui qu'on' en déduit en
DETERMINANTS
échangeant les colonnes p et q. Je dis que tout terme de D se trouve dans D' avec un signe contraire.
Considérons un terme de D et supposons les éléments qui figurent dans ce terme rangés dans un ordre tel que ceux qui appartiennent aux colonnes/) et q se trouvent les premiers. Soient :
(Colonnes) p q y' V
(Lignes) =« ^ ï ^
la suite des indices des colonnes et la suite des indices des lignes correspondantes.
Dans la suite des indices de colonnes, échangeons les indices p et q et récrivons la suite des indices de lignes, les deux suites ainsi obtenues : ^
[Colonnes) q p y' V
[Lignes) '^ P Y ^
considérées, la première comme donnant les indices de colonnes,, la seconde comme donnant les indices de lignes, définissent un terme de D', puisque chacune d'elles doit contenir les n premiers nombres rangés dans un certain ordre.
Le terme de D' ainsi défini est formé des mêmes éléments que le terme considéré de D.
En eflet, les éléments
de D' sont égaux respectivement aux éléments de D situés dans les mêmes lignes et les mêmes colonnes ; les éléments
de D' sont égaux respectivement aux éléments
ai co
de D, puisque les colonnes /) et q ont été échangées.
Les deux termes considérés dans D et dans D' sont donc formés des mêmes éléments. Il reste à voir que le signe dont on doit faire précéder le produit de ces éléments n'est pas le même dans les deux cas.
En effet, quand on passe du terme de D au terme correspondant de D', on ne change pas la permutation des indices de lignes ; au contraire, on échange les deux premiers indices dans la permutation des indices de colonnes. Si donc ces deux permutations étaient de même classe, elles seront de classes différentes et inversement. Les signes à choisir ne sont donc pas les mêmes dans les deux cas.
Ainsi, tout terme D se trouve dans D' avec un signe contraire ; on démontrerait de même que tout terme de D' se trouve dans D avec un signe contraire. Donc, D et D' sont égaux et de signes contraires : c'est ce qu'on voulait démontrer.
88. Corollaire. — Si un déterminant a deux colonnes (ou deux lignes) identiques, ce déterminant est nul.
En effet, soit D un déterminant dans lequel les colonnes d'indices p et q sont composées de la même manière, et soit D' le déterminant obtenu en échangeant les colonnes p et q. D'après le théorème précédent,
Mais, comme les colonnes jo et q sont identiques, on n'a pas changé D en échangeant ces deux colonnes ; on a donc
D:=rD'.
De ces deux égalités, on déduit
En raisonnant comme dans la démonstration du théorème précédent, on ferait voir directement qu'à tout terme du déterminant correspond dans le même déterminant un autre terme égal et de signe contraire. La somme de tous ces termes est donc nulle.
Par exemple :
89. — On appelle fonction linéaire et homogène des quantités X, y, z, une somme de termes dont chacun contient au
DETERMINANTS g y
premier degré une des quantités x, y, z; telle est l'expression : kx -i-By -h Cz,
A, B, G étant indépendants de x, y, z.
Un déterminant est une fonction linéaire et homogène des éléments d'une même ligne ou dune même colonne.
Car un terme quelconque du déterminant contient un élément et un seul d'une ligne ou d'une colonne déterminée.
Par exemple, le déterminant
pourra être mis sous la forme
kx-\-V>y-\- Gr,
A, B, G, étant indépendants de x, y, z : kx est la somme des termes qui contiennent x, Bj la somme des termes contenant y, Cz la somme des termes contenant z.
90. — En écrivant d'après la règle déduite de la définition même d'un déterminant tous les termes de A, on trouve que A
est le déterminant
qui peut se déduire du déterminant proposé en supprimant la ligne et la colonne qui contiennent x. Nous allons généraliser ce résultat.
On appelle mineur d'un déterminant, un déterminant obtenu en supprimant, en nombre égal, des lignes et des colonnes dans le déterminant proposé, et plus particulièrement mineur d'ordre p d'un déterminant, le déterminant obtenu en supprimant p lignes et/> colonnes dans le déterminant proposé.
Théorème. — Si dans un déterminant tous les éléments d'une même ligne sont nuls excepté un, le déterminant est égal au produit de l'élément différent de zéro par le mineur obtenu en supprimant la ligne et la colonne qui correspondent à cet élément, le produit étant précédé du signe -h, quand les indices de la ligne et
Briot — Leçons d'Algèbre 7
g8 LIVRE II. CHAPITRE I
de la colonne supprimées sont de même parité, da signe — dans le cas contraire.
ler (^^^ — Supposons que les éléments de la i'^ ligne sont tous nuls, sauf le premier, soit
Ca
et soit Aie mineur obtenu en supprimant la V' ligne et la i'' colonne,
Nous allons démontrer que Ton a A = a, A.
On voit de suite que si dans un terme de A on supprime le facteur a,, le produit qui reste est égal au signe près à un terme de A, puisque ce produit contient comme facteur un élément et un seul de chaque ligne et de chaque colonne de A. Il reste h montrer que l'égalité subsiste quand on tient compte des signes.
Remarquons d'abord que nous pouvons conserver aux lignes et aux colonnes successives de A les indices 2,3, 4, puisque la définition d'un déterminant suppose seulement que les indices attribués aux lignes et aux colonnes successives sont des nombres croissants. Cela posé, soient
les éléments correspondant au terme considéré de A, le signe dont il faut faire précéder leur produit se détermine en considérant les deux suites :
(Colonnes) [Lignes)
Pour le terme considéré de A, les éléments sont :
Kd,
DETERMINANTS
et les deux suites :
(Colonnes) (Lignes)
Elles se déduisent des deux premières en supprimant dans chacune d'elles l'indice i à la première place. Mais en opérant ainsi, on ne supprime aucune inversion. Donc, les nouvelles suites conduisent au même signe que les deux premières. Donc, si dans un terme de A on supprime le facteur ai, on obtient en grandeur et en signe un terme de A. De même, en multipliant par Gj un terme de A, on obtient en grandeur et en signe un terme de A. De ces deux propositions résulte l'égalité :
qu'il s'agissait de démontrer.
2" Cas. — Supposons que les éléments de la i*" ligne sont tous nuls, sauf celui qui appartient à la colonne k. Par exemple, soit :
elk= 4.
Ce cas se ramène au précédent, car nous pouvons amener la 4° colonne au i*"'" rang au moyen de 4 — i échanges de colonnes, soit A' le déterminant ainsi obtenu
On sait que l'on a
Mais
Donc,
xd,.
En général, si a est l'élément de la V^ ligne appartenant à la colonne A:, on a
A étant le mineur obtenu en supprimant la i- ligne et la k^ co-
lonne.
30 Qas. — Nous supposons que les éléments de la ligne / sont nuls, sauf celui qui appartient à la colonne k.
Soit A le déterminant donné, a l'élément situé à la ligne ?, et à la colonne /v, et A le mineur obtenu en supprimant la ligne et la colonne à laquelle appartient a.
On peut amener la ligne / au V' rang au moyen de / — i écbanges de lignes, soit A' le déterminant ainsi obtenu. Dans A' tous les éléments de la i^ ligne sont nuls sauf l'élément a qui appartient à la colonne k, et le mineur obtenu en supprimant la ligne et la colonne de a est encore A. On a donc
Mais d'après la façon dont A' a été déduit de A,
A' = (-iy-'A.
ou, ce qui revient au même
A =(— i)'"^''' Aa.
Le théorème est donc démontré dans tous les cas.
91. Développement diiii déterminant suivant les éléments dune même li(jne ou dune même colonne.
Soit ;
DETERMINANTS
lOI
On sait que A est une fonction linéaire et homogène des éléments d'une même ligne, la 3% par exemple. Posons :
A = Agfl^ 4- B363 H- C3C3 + Dgdg,
et proposons-nous de calculer A3, B3, C3. D3.
Pour avoir D3, par exemple, remplaçons dans A les éléments
de la 3" ligne par
comme A3, B3. C3, D3 ne dépendent pas des éléments de la
3" ligne, le résultat obtenu sera présisément Dg.
ais d'après un théorème connu :
En général, si on développe le déterminant suivant les éléments de la ligne i et si a est l'élément de cette ligne situé dans la colonne k, le coefficient de a est égal à
A étant le mineur obtenu en supprimant la ligne et la colonne à laquelle appartient l'élément a.
Il est facile de voir que la règle donnée pour développer un déterminant suivant les éléments d'une même ligne permet d'obtenir tous les termes du déterminant.
Si le déterminant proposé est du 3" ordre, les coefficients du développement sont des déterminants du 2" ordre dont on a immédiatement l'expreêsion. Par exemple :
[hc' — ch') — y [ac' — ca') -h z {ah'
ha'
Si le déterminant proposé est du 4° ordre, les coefficients du développement sont des déterminants du 3" ordre. On pourra traiter chacun d'eux comme le précédent et ainsi de suite.
92. — La proposition : Un déterminant est une fonction linéaire des éléments d'une même ligne ou d'une môme colonne (proposition qui, nous l'avons vu, résulte immédiatement de la définition), conduit aux remarques suivantes : ^ Si on multiplie par im même facteur les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne, le déterminant est multiplié par ce Jacteur.
En effet, si x, y, z sont les éléments d'une même ligne d'un déterminant A, on peut mettre A sous la forme
A = Ax -h Bj H- C-,
A, B, G étant indépendants de x, y, z, et si on remplace x, y, z, par lix, Kj, Kc on trouvera
AKj- -f- BKj -f CK' ou KA.
D'après cela, on peut supprimer un facteur commun à tous les éléments d'une même colonne, à condition de multiplier le déterminant par ce facteur. Ainsi
Kj- a a'
Kj h h'
Kc c c'
Il résulte de là que si les éléments correspondants de deux colonnes sont proportionnels le déterminant est nul.
ADDITIOx^ DE DEUX DÉTERMINANTS DE MÊME ORDRE
