Théorème. — On peut toujours, en décomposant en deux

parties les éléments dune même colonne, mettre un déterminant sous la forme d'une somme de deux déterminants de même ordre.

Soit A le déterminant proposé, X, Y, Z, les éléments de la colonne considérée ; on a

A = AX -h GY -h BZ A, B, G étant indépendants de X, Y, Z.

DÉTERMINANTS

io3

Si maintenant on pose

\ = x^x' Y on obtient

A = (Ace + Bj -h Cz) -h {Kx' + Bj' + Cz') ;

. kx -\- l^y -\- Cz est le développement d'un déterminant qui se déduit de A en remplaçant X, Y, Z par ce, j, z ; kx' -h Bj' -h Gz' est le développement d'un déterminant qui se déduit de A en remplaçant X, Y, Z par x' y y' , z' ; le théorème est donc démontré. Par exemple

La proposition s'étend immédiatement au cas où l'on aurait décomposé tous les éléments d'une même colonne en une somme de p parties.

94. Théorème. — On peut ajouter aux éléments d'une colonne d'un déterminant les éléments d'une autre colonne multipliés par un même facteur, sans changer la valeur du déterminant.

a -h Aa

c -\- le'

Car le déterminant du second membre peut être décomposé en une somme de deux autres dont l'un est le déterminant proposé et dont l'autre ne diffère que par le facteur X d'un déterminant ayant deux colonnes identiques.

tU^

tZ-Zç

nr^J

fyy