ÉQUATIONS LINÉAIRES

rf.

95. — La résolution et la discui^sion d'un système d'équations du premier degré à un nombre quelconque d'inconnues peuvent commodément s'effectuer à l'aide de la théorie des déterminants.

Yoici d'abord une conséquence de ce fait qu'un déterminant où deux lignes sont identiques est nul. Considérons le déterminant

ordonné par rapport aux éléments de la première ligne :

'A = Aa 4- Bjî + Cy 4- D8.

Si dans ce développement on remplace lôs éléments de la première ligne par ceux d'une autre ligne, la deuxième par exemple,

le résultat obtenu

Aa + B6 -+- Ce -f- Jyd

est le développement d'un déterminant qui se déduit de A en y remplaçant a^ ft, y, â, par a, b, c, d, et qui, par suite, est nul comme ayant deux lignes identiques. On obtient de cette façon

les égalités

\a -hBb -h Ce -h De/ = o Aai + B6^ -4- Ce, H- De/, = o

Aa^ H- B6^ -h Cej -f- Dd^ = o.

EQUATIO^S LINEAIRES

lOt)

Cette remarque permet de résoudre immédiatement la question suivante : étant données les 3 équations homogènes et du premier degré à 4 inconnues,

ax -^ hy -\- cz -\- dl = o, a^x H- 6jj -\- CjC -f- dyt == o, a.^x -h h.^y H- c^z -\- d.^t = o,

telles que l'un des déterminants formés avec les coefficients de 3 des inconnues dans les 3 équations, par exemple :

est différent de zéro, on demande de trouver une solution de ce système, l'une au moins des inconnues devant être différente de zéro.

Pour cela, considérons le déterminant

formé avec les coefficients des équations données et avec des indéterminées a, l'S, y, (^. Développons A par rapport aux éléments de la première ligne, nous obtenons :

A = Aa -+- B^ -4- Gy + Do

A étant le déterminant qu'on a supposé différent de zéro.

Dans ce développement, remplaçons a, fj, y, â' successivement par a, b, c, d; a^, 6^, Cj, d^ ; a^, h^, c^, d^ ; nous obtiendrons ainsi, d'après ce qui précède, les 3 égalités :

Aa + B6 + Ce 4- Dt/ = o

Aa^ H- B6j -h Gcj + Dc/^ = o

Aa^ H- B62 + Cc^ -h Dcig = o»

qui montrent que A, B, G, D, forment un système de solutions dont l'une au moins, A, est différente de zéro.