CALCUL DES NOMBRES INCOMMENSURABLES

6. — On a défmi jusqu'ici un nombre incommensurable / en disant quels sont les nombres rationnels plus petits que i, et quels sont les nombres rationnels plus grands que i. Mais il suffit, pour qu'un nombre irrationnel soit complètement défini, de connaître une suite de nombres rationnels plus petits que lui, ou une suite de nombres rationnels plus grands que lui, ces deux suites satisfaisant à certaines conditions. Nous nous appuierons pour cela sur une propriété des suites croissantes ou décroissantes, que nous aurons souvent l'occasion d'appliquer. Soit

(l) «1, a.,, ... Qn, ...

une suite indéfinie de nombres positifs rationnels, allant en croissant (ou du moins ne décroissant jamais) quand l'indice n augmente, cliaque nombre de cette suite étant plus petit qu'un nombre positif donné b. Considérons sur une demi-droite OX les points Aj, A^, ... A,j, ... d'abscisses a,, a.^, ... <2„, ... et le point B d'abscisse b. Tous les points A^ sont à gauche du point B, et le point An se déplace toujours dans le même sens, de gauche à droite, lorsque l'indice n augmente. Ce point An se rapproche donc de plus en plus d'un point-limite L, qu'il ne peut dépasser, mais qui est tel que le segment A^L finit par rester plus petit que tout segment donné à l'avance (^). L'abscisse de ce point L peut être un nombre rationnel ou irrationnel ; dans les deux cas, ce nombre est complètement défini par la suite (i). Si

l'abscisse du point L est un nombre rationnel q , la différence

Q — «,i finit par devenir et rester plus petite que tout nombre

(*) Ce postulat n'est pas distinct de celui qui a été admis au n'' 3.

rationnel donné; on dit que le nombre rationnel a„ a pour

P limite le nombre rationnel ç^ . S'il n'existe pas de nombre

rationnel q jouissant de la propriété précédente, l'abscisse du

point L est forcément un nombre irrationnel /. Nous continuerons à dire que ce nombre i est la limite du nombre rationnel a„, lorsque n augmente indéfiniment ; mais ce n'est là qu'une locution abrégée, employée pour la commodité du langage, et non une définition.

De même une suite de nombres positifs rationnels

(9) bi, b,^ ••• h^, ...

allant en décroissant (ou du moins n'allant jamais en croissant) lorsque n augmente, définit un nombre rationnel ou irrationnel, que nous appellerons la limite du nombre rationnel 6„ lorsque tt augmente indéfiniment.

Si l'on a à la fois deux suites telles que les suites (i) et (*>), l'une croissante, l'autre décroissante, et telles en outre que la "valeur absolue de la différence 6„ — an finisse par rester plus petite que tout nombre positif donné à l'avance s, les deux suites (i) et (2) définissent le même nombre rationnel ou irrationnel. Soit en effet L' le point vers lequel tend le point B^^ d'abscisse h lorsque n augmente indéfiniment. Ce point L' ne peut être différent du point L ; car autrement la distance des deux points A„ et B;, qui tendent respectivement vers les points L et L' ne pourrait tendre vers zéro. Si l'abscisse du point L est un nombre irrationnel /, nous dirons que ce nombre /est la limite commune des nombres a„ et h,^ des deux suites (i) et (2) lorsque n augmente indéfiniment.

Tout nombre irrationnel peut être défini d'une infinité de manières au moyen de deux suites de nombres rationnels telles que les suites (i) et (2). Prenons par exemple le nombre irrationnel V^3. Si l'on considère les valeurs approchées par défaut puis par excès de la racine de 3 à moins de ~ ' - , ~qq~ » **" les premières forment une suite croissante

CALCUL DES ?Î0MBRES INCOMMENSURABLES l3

les dernières une suite décroissante

de plus, la différence entre les termes correspondants des deux suites tend vers zéro quand leur rang croît indéfiniment.

Mais on pourrait remplacer ces deux suites par une infinité d'autres pour définir v/3, par exemple considérer les valeurs approchées de la racine de 3, par défaut et par excès, à moins

de fyr' \T.2' >J3, -•> N étaut uu nombre entier quelconque autre

que 10.

Quelle que soit la façon dont on prenne une suite croissante de nombres rationnels, telle que la suite (1), définissant un nombre irrationnel i, et une autre suite de nombres rationnels décroissants, telle que la suite (2), définissant le même nombre irrationnel, la différence entre les termes de même rang des deux suites tend vers zéro lorsque le rang n augmente indéfiniment. En effet, les deux points A„ et B« dont les abscisses sont an et bn tendent vers le point L dont fabscisse est le nombre irrationnel / ; le segment AnB„ devient donc plus petit que tout segment donné lorsque le rang n augmente indéfiniment, et par suite la différence bn — «n tend vers zéro.

7. — La définition des nombres irrationnels par des suites croissantes ou des suites décroissantes dénombres rationnels permet d'étendre facilement à ces nombres les opérations fondamentales de l'Arithmétique. Le résultat de ces opérations est toujours un nombre de même espèce que les nombres déjà définis, c'est-à-dire un nombre rationnel ou irrationnel. Pour donner une idée de la méthode que l'on emploie, nous prendrons par exemple la multiplication.

Soient /' et i' deux nombres irrationnels, dont le premier / est défini par les suites (i) et (2), tandis que le second i' est défini par une suite croissante de nombres rationnels positifs. (3) a'j, a'2, , a'n,

tous plus petits qu'un nombre 6', et une suite de nombres ra-

l4 LIVRE I.