Système de n équations du premier degré à n incon
nues. Cas oà le déterminant des coefficients des inconnues est différent de zéro.
Prenons comme exemple le système formé des équations
Sj = a^x H- bj -+- Ci^z H- d^ = o, S 2 = a^x -h hj H- CgC + dg = o,
S., = a^X H- h.J -f- C.,Z H- C^3 =rr o,
et supposons le déterminant
j «1 ^1 Cl
Ik
différent de zéro.
Il est facile de former une combinaison des équations don^ nées qui ne contienne plus que l'une des inconnues, x, par exemple. Pour cela, ordonnons le déterminant A par rapport aux éléments de la première colonne, soit :
Multiplons les premiers membres S,, S2, S3 des équations données respectivement par A,, Ag, A3, et ajoutons-les ensuite. Dans l'expression ainsi obtenue, le coefficient de x
est égal à A, le coeflicient de y
kfi, + A36, -I- k.fi.,
est nul comme développement d'un déterminant ayant deux colonnes identiques, le coefficient de z est nul pour la même raison. On a donc
A, Si -H A^S, -^ A3S3 = Ax 4- k,d, + k^d., 4- k^d., et de même
B,S, 4- B,S, 4- B3S3 = Ar 4- B,r/, -h ^,d, 4- ^A C^Si + G,S, 4- G3S3 = A- + Cirfi H- C,d, 4- CA
B,, B,, B„ étant les coefficients du développement du déterminant A ordonné suivant les éléments de la seconde colonne ; G,, C^, C3, étant les quantités analogues pour la troisième colonne.
EQUATIONS LINEAIRES IO7
Cela posé, s'il existe des valeurs de x, y, z annulant Sj, S^, S3, ces valeurs doivent annuler les seconds membres des identités précédentes. Donc, A étant supposé différent de zéro, ces valeurs ne pourront être que :
A r = Bif/i -I- Vy,d, H- B,d, ^' A
^ G,C?1 + Cgf/o -h C3C/3
97. — Il reste à voir si ces trois nombres vérifient les équations données. Pour cela, substituons-les aux variables dans Sj. Nous trouvons, après avoir multiplié par A :
— «i (Aif/i -+- Agc/g -h A3C/3)
— ^1 (Bi^^i -+- B,d, + B^d,)
— Cl (Cic/i -f- ^G^f/^ -h G3C/3) + ^d,.
Dans cette exj)ression, le coefficient ded^ est nul, puisque A, développé suivant les éléments de la première ligne, donne
A = Aifli + Bibi -f- Gi^i ;
le coefficient de d.^ est nul comme développement d'un déterminant ayant deux lignes identiques, le coefficient de d.^ est nul pour la même raison.
La première équation est donc vérifiée ; il en est de même des deux autres.
Ainsi, les équations données ne peuvent être vérifiées que par un seul système de valeurs de x, y, r, et sont effectivement vérifiées parce système.
La valeur de x, par exemple, est donnée par la formule :
le numérateur de cette fraction se déduit de A en y remplaçant a„ a,, a, par d^, d„ dg, c'est-à-dire les coefficients de x par les termes tous connus correspondants.
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