CHAPITRE II
On est ainsi conduit à la proposition suivante connue sous le nom de rc(jle de Cramer ;
Étant donné un système de n équations du premier degré à n inconnues tel que le déterminant des coefficients des inconnues est différent de zéro, il y a un système et un seul de valeurs des inconnues qni vérifient ces équations. La valeur de l'une des inconnues, changée de signe, est égale à une fraction ayant pour dénominateur le déterminant des coefficients des inconnues et pour numérateur un déterminant qui se déduit du précédent en y remplaçant les coefficients de l'inconnue considérée par les termes tout connus correspondants.
98. Problème. — Étant données n équations linéaires à n inconnues telles que le déterminant des coefficients des inconnues est différent de zéro, trouver la condition pour que les valeurs des inconnues tirées de ces n équations satisfassent à une {n H- i)" équation linéaire.
Soient, d'une part.
Si = ttix H- b^y -+- Ci^z -+- c/i = o, S^ = a^x H- h^y + cf -{- d.^ = o, S3 = a^x + h.j + c^z -\- d.^ =z o,
et d'autre part,
S = ax H- />j -h cz -h d r=z o,
3 équations à 3 inconnues dans lesquelles le déterminant des coefficients des inconnues
est différent de zéro, et une quatrième équation aux mêmes inconnues X, y, z. Considérons le déterminant du quatrième ordre formé avec les coefficients de ces quatre équations ,
ch
fh
EQUATIONS LINEAIRES IO9
et développons ce déterminant suivant les éléments de la colonne formée des termes tout connus
A = ù^di -+- ô^fL -h S.jC?3 -h oc? ;
0" est précisément le déterminant du Z" ordre supposé différent de zéro.
Gela posé, multiplions les premiers membres des équations données S^, S., Sg, et S respectivement par o\, (^\, o\, r}^ et ajoutons. Dans la combinaison ainsi formée, les coefficients de X, de r, de 2: sont nuls comme développements de déterminants ayant deux colonnes identiques, le terme tout connu est égal à A. On obtient donc l'identité
ôiSi + S,S, -h 0383-+- SS= A
et l'on en déduit aisément la condition cherchée.
En effet, pour que les valeurs des inconnues tirées des trois premières équations annulent le premier membre de la dernière, il est nécessaire que l'on ait
Inversement, si on suppose A = o, l'identité devient OjS^ -f- 02^2 "+" S^3 H- 08 ^ o.
Les valeurs des inconnues qui annulent S,, 83 et 8;^ annulent donc âS et par suite S, puisque â' est différent de zéro ; ou encore S peut s'exprimer en fonction linéaire et homogène des premiers metnbres des trois équations données. Donc, étant données n équations à n inconnues pour lesquelles le déterminant des coefficients des inconnues est différent de zéro, pour que les valeurs des inconnues tirées de ces n équations satisfassent à une {n -+- ly équation, il faut et il suffit que le déterminant d'ordre /i -+- i formé avec tous les coefficients des équations considérées soit égal à zéro.
Lorsque ce déterminant d'ordre ai -h i est égal à zéro, le premier membre de la (n -h i)" équation s'exprime en fonction linéaire et homogène des premiers membres des n équations données.
IIO
Remarque . — La condition précédente a été obtenue en considérant la combinaison
OjSj -h o^S^ -h O3S3 H- oS
des premiers membres des équations considérées. Cette combinaison n'est autre chose que le déterminant
Si S, S.,
que l'on obtient en bordant le déterminant supposé différent de zéro, horizontalement avec les coefficients des inconnues dans la dernière équation, verticalement avec les premiers membres des équations données.
SYSTÈME DE n ÉQUATIONS LINÉAIRES A m INCONNUES
