CHAPITRE I

tionncls positifs décroissants,

les deux suites étant telles que la différence h\^ — a'^ tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment.

Considérons les deux suites de nombres rationnels

dont la première est formée de nombres rationnels croissants (ou du moins ne décroissant jamais), et tous plus petits que 66', tandis que la seconde est formée de nombres rationnels décroissants (ou n'allant jamais en croissant). Ces deux suites définissent un nombre j, rationnel ou irrationnel, car la différence bnK — «««« tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment. Nous

avons en effet

b^b',, — ana'n — 6,^ (6;^ — a,) -+- a',, (bn — a„).

Soit iS un nombre supérieur à tous les nombres 6;^ et a'„ ; si les différences 6^ — rin et b'u — a'^ sont plus petites qu'un nombre positifs, on a aussi

bnb'n — anOn < ^Ns,

et par conséquent la différence considérée tend bien voi*s zéro. Ce nombre J, qui est défini par fune ou l'autre des deux suites (5) ou (6) est le produit des deux nombres irrationnels / et /' ; remarquons que ce n'est pas nécessairement un nombre irrationnel.

Comme chacun des deux nombres / et l' peut être défini d'une infinité de manières par une suite de nombres rationnels, soit croissante, soit décroissante, il est nécessaire, pour justifier la définition précédente, de montrer que le nombre / est indépendant des deux suites choisies pour définir les nombres / et /'. La démonstration est bien facile. Nous pouvons en effet, sans changer les deux suites décroissantes (2) et (4), remplacer les suites croissantes (i) et (3) par deux autres suites croissantes

(l)^'* q, C2, ..., Cn,