LIMITES

définissant les deux mêmes nombres i et i'. La suite croissante

définit le même nombre j que la suite (6), car les différences (j^^ — Cn, h'n — c'n teudcut vcrs zéro lorsque n augmente indéfiniment, puisque les suites (i)'"' et (2) définissent le même nombre irrationnel, et de même pour les suites (4) et (3)''"'.

Les autres opérations arithmétiques, addition, soustraction, division, extraction de racines, etc., se définissent d'une façon analogue pour les nombres irrationnels. La somme de deux nombres a et |3, rationnels ou irrationnels, est un autre nombre rationnel ou irrationnel qui correspond à un segment de droite obtenu en portant bout à bout les deux segments de droite mesurés par les deux nombres a et ^j. On peut faire une remarque analogue pour la différence.

8. — Nous n'avons considéré jusqu'ici que les points de la droite XX' à droite de l'origine 0. Soit M un point de cette droite à gauche du point 0 ; si le segment OM n'a pas de commune mesure avec le segment choisi pour unité, à ce segment correspond un nombre irrationnel i. Nous dirons que le point M a pour abscisse le nombre irrationnel négatif — /, A tout nombre rationnel ou irrationnel, positif ou négatif, correspond ainsi un point M de la droite XX', et inversement.

Tout nombre irrationnel négatif peut encore être défini d'une infinité de manières par une suite croissante ou décroissante de nombres rationnels négatifs. Les règles établies pour le calcul des nombres rationnels négatifs s'étendent aussi aux nombres irrationnels négatifs.