SC G" G"' G'V

On peut les amener à Tordre

par les permutations successives de deux segments consécutifs suivantes :

Si c çt// çjjn c'V*. C 6 G" G'V C'f.

S' G QJV G" G"'.

St ç» o/y çz/rr q//

(nous avons souligné, à chaque opération, les deux segments qui ont été permutés).

Remarque. — Il résulte de ce théorème important que, pour définir la résultante de plusieurs segments, il est inutile de dire dans quel ordre on prend ces segments pour la former.

Les sommes géométriques de segments jouissent donc de la propriété fondamentale des sommes arithmétiques de nombres, k savoir que la somme ne change pas lorsqu'on intervertit Tordre des parties.

Théorème III. — Etant donnés plusieurs segments portés par une même droite, on peut, sans modifier leur résultante, remplacer deux ou p lusie u rs seg men ts par leu r rés u Itan te .

Nous avons déjà démontré ce théorème lorsque les segments sont consécutifs. Si les segments ne sont pas consécutifs on peut, d'abord, sans modifier la résultante, changer Tordre des segments de façon que les segments considérés deviennent consécutifs; et, alors, on peut les remplacer par leur résultante.

D'ailleurs, réciproquement, on peut, sans modifier la résultante, remplacer un segment par plusieurs segments dont il soit la résultante, puis, distribuer d'une façon quelconque ces nouveaux segments parmi les précédents.

Remarque. — Ce théorème complète l'analogie entre les sommes géométriques de segments et les sommes arithmétiques de nombres ; car il correspond à la proposition d'arithmétique d'après laquelle, dans une somme, on peut remplacer plusieurs parties par leur somme effectuée, et réciproquement.