CHAPITRE PREMIER

4. La théorie des segments portés par une droite nous a fourni un exemple de grandeurs susceptibles d'avoir deux sens différents.

Des exemples de grandeurs de cette nature sont fréquents. Ainsi, lorsqu'on compte le temps à partir d'un instant initial, pris comme origine du temps, ou plutôt lorsqu'on repère les divers instants en indiquant les intervalles de temps qui les séparent de l'origine du temps, il faut distinguer entre le cas où l'instant précède ou suit l'instant initial. Le temps peut être ainsi compté dans deux sens différents suivant qu'il s'est écoulé après l'instant initial ou qu'il précède cet instant.

Les degrés de température indiqués par un thermomètre sont aussi comptés dans deux sens différents, suivant qu'ils indiquent une température au-dessus ou au-dessous du zéro. En parlant du zéro, la colonne mercurielle monte ou descend dans le thermomètre, suivant que la température finale qu'elle doit marquer est plus élevée ou plus basse que le zéro.

Dès le début de l'algèbre, on sent la nécessité de donner une mesure d'une telle grandeur qui indique, non seulement la mesure arithmétique de cette grandeur, mais encore son sens. On est ainsi conduit à créer deux nouvelles classes de nombres correspondant aux deux sens, dans lesquels on peut compter les grandeurs linéaires. Il faut, ensuite, donner des règles de calcul de ces nombres entre eux.

Le choix de ces règles de calcul n'a pas été fait d'une manière arbitraire, mais de telle sorte que presque toutes les opérations jouissent des mêmes propriétés que les opérations arithmétiques. Il est inutile d'insister ici sur les raisons logiques pour lesquelles on a fait ce choix; il suffira de constater que les définitions nouvelles conduisent à des conclusions non contradictoires, utiles, et qui donnent au calcul une généralité qui est la base même du calcul algébrique.

Pour montrer l'insuffisance de l'arithmétique dans de pareils cas, nous prendrons l'exemple suivant : Soient sg\B et sgBC deux segments, cherchons à calculer la longueur de leur résultante sgkC et à connaître son sens. Il y a trois cas à distinguer.

1° Si les deux segments sont de même sens, on a

et la résultante est de même sens que les deux segments. 2° Si les deux segments sont de sens contraires et si