AC = AB — BC, DF = EF — ED

D'où AC = DF.

Les deux segments sgkC et sgDF sont donc égaux, puisqu'ils ont même longueur et même sens ; car C est à droite de A et F à droite de D.

Remarque I. — La résultante de deux segments égaux et de sens contraires est un segment nul. Car (fig. 3), si on avait AB = BC, le point C coïnciderait avec le point A et le segment sgAC serait nul puisque son origine et son extrémité coïncideraient.

Remarque II. — Il résulte du théorème précédent que, pour définir la résultante de deux segments, il est inutile de dire dans quel ordre on prend ces segments, puisque le résultat ne dépend pas de Tordre qu'on a suivi pour former la résultante.

Remarque III. — Lorsqu'un mobile part d'un point A d'une droite pour aller au point B, puis repart du point B pour aller au point C, il a parcouru, successivement, les deux segments sgkB et .w/BC. On voit, alors, que la résultante de ces deux segments n'est autre chose que le segment qu'aurait parcouru le mobile s'il était allé directement du point de départ A au point d'arrivée final C.

Le théorème qui précède nous montre que, le point A de départ étant le même, le point d'arrivée final C est indépendant de l'ordre dans lequel le mobile a parcouru les deux segments. Ainsi, si le mobile, en partant du point A, parcourt d'abord 100 mètres de gauche à droite, puis 50 mètres de droite à gauche, le point d'arrivée C sera le même que s'il avait d'abord parcouru 50 mètres de droite à gauche, puis, ensuite, 100 mètres de gauche à droite. Dans les deux cas, le point d'arrivée C est le même que si le mobile avait parcouru, directement, 50 mètres de gauche à droite.

3. Résultante de plusieurs segrmcnts. — Étant donnés plusieurs segments S, S', S", S"', portés par une même droite, on

appelle résultante ou somme géométrique de ces segments le segment obtenu de la façon suivante : on forme la résultante R' des deux premiers segments S et S', puis la résultante R" de R' et du segment suivant S"; enfin, la résultante de R" et du dernier segment S"7 est la résultante R des quatre segments donnés, pris dans l'ordre énoncé. Lorsque les segments donnés sont placés bout à bout de façon que l'extrémité de l'un coïncide avec l'origine du suivant, la résultante est le segment qui a pour origine l'origine du premier et pour extrémité l'extrémité du dernier. Ainsi, considérons (fig. 4) les

Fig. 4.

segments placés bout à bout sgXS, sgBC, sgCD, sghE. La résultante de sgXB et sgBC est *</AC; la résultante de sg\C et sgCD est sgkD ; enfin, la résultante de xjAD et de sgDE est sgkE. Donc, la résultante des quatre segments est sg\E dont l'origine est l'origine du premier et l'extrémité l'extrémité du dernier.

Théorème I. — La résultante de plusieurs segments, portés par une même droite, ne change pas si on remplace deux ou plusieurs segments consécutifs par leur résultante ou, réciproquement , si on remplace un segment par deux ou plusieurs segments dont il est la résultante.

Soient, en effet, sgkB, sgBC, sgCD, sgï>E, sgEF cinq segments dont la résultante est sg\F {fig. 5). Supprimons dans la figure

Fia. 5.

le point intermédiaire G; cette suppression ne changeant pas les deux points extrêmes A et F, il nous reste quatre segments sgkB, sgBD, sgDE, sgEF dont la résultante est encore sg\F. On peut donc, sans changer la résultante, remplacer deux segments consécutifs par leur résultante. D'une manière plus générale, on peut remplacer plusieurs segments consécutifs par leur résultante; car cela revient tout simplement, dans la figure formée par les segments, k supprimer un ou plusieurs points intermédiaires.

Réciproquement, considérons les quatre segments sjAB, *#BD, sgDE, sgEF dont la résultante est sg\F; marquons, sur la droite qui porte les segments, un point C. Ce point C forme avec les deux points B et D deux segments consécutifs sgBC et sgCD dont sgBD est la

résultante. Cette opération n'ayant pas modifié les deux points extrêmes, la résultante des cinq segments ainsi obtenus est encore sgXY. Plus généralement, on peut remplacer un segment par plusieurs autres segments consécutifs dont il est la résultante; car cela revient à introduire un ou plusieurs points intermédiaires dans la figure formée par les segments.

Théorème H. — Étant donnés plusieurs segments, sur une mêmr droite, la résultante de tous ces segments est indépendante de l'ordre dans lequel on prend ces segments pour la former.

En d'autres termes, il faut montrer que la résultante de plusieurs segments, portés par une même droite, ne change pas quand on change Tordre de ces segments. Nous distinguerons, à cet effel, deux cas :

1° La résultante ne change pas quand on permute deux segments consécutifs. En effet, d'après le théorème précédent, on peut remplacer ces deux segments par leur résultante; mais, ensuite, d'après la réciproque, on peut remplacer cette résultante par deux segments consécutifs dont elle soit la résultante, en particulier, par les deux segments précédents pris dans Tordre inverse. Finalement, le résultat de ces deux opérations successives est d'avoir permuté les deux segments proposés sans avoir modifié la résultante générale.

2° On peut permuter les segments d'une façon quelconque. Puisque, d'après ce qui précède, on peut permuter deux segments consécutifs, on pourra, en faisant un nombre suffisant de permutations de deux segments consécutifs, placer les segments dans tel ordre que Ton voudra et, comme chaque permutation de deux segments ne modifie pas la résultante, le théorème est démontré. Ainsi, par exemple, considérons les cinq segments suivants dans Tordre :