DES FONCTIONS
119. Définitions. — I. On dit qu'une fonction f(x) est croissante, pour x =a, si on peut déterminer un nombre positif e assez petit pour que, pour toutes les valeurs de h (positives ou négatives) plus petites en valeur absolue que e, Ton ait :
fJ?±*tzlM > o.
Ceci revient à dire que la valeur f(a) de la fonction, pour x = a, est plus petite que les valeurs qu'elle prend lorsque x est compris entre a eto-f5 et plus grande que les valeurs qu'elle prend de a — e à a.
II. Une fonction f(x) est dite décroissante, pour x = a, lorsqu'on peut déterminer un nombre positif e, assez petit, tel que, pour toutes les valeurs de h (positives ou négatives) plus petites en valeur absolue que e, Ton ait :
Ceci revient à dire que f(a) est plus grand que les valeurs que prend la fonction quand x est compris entre a et a-j-e et plus petit que les valeurs de la fonction de a — e à a.
Remarque. — 11 résulte, immédiatement, des définitions précédentes que, lorsqu'une fonction est croissante dans un intervalle, c'est-à-dire lorsqu'elle varie dans le même sens que la variable (Voir n° 31), elle est croissante pour toutes les valeurs comprises dans cette intervalle.
Mais, réciproquement, il n'est pas évident qu'une fonction qui est croissante, pour toutes les valeurs de x comprises dans un intervalle (a, 6), varie dans le même sens que la variable, dans cet intervalle.
Il est, cependant, assez naturel d'admettre cette réciproque; c'est ce que nous ferons dans cette étude élémentaire (!).
Nous admettrons, de même, que, lorsqu'une fonction est décroissante, pour toutes les valeurs de x comprises dans un intervalle, elle varie, dans cet intervalle, en sens contraire de la variable.
Théorème I. — Lorsqu'une fonction f(x) admet une dérivée positive, pour x = a, elle est croissante ])our x = a.
Par définition de la dérivée, on a
tfw.|7(«+»)--/(«)j;=m
quand h tend vers zéro. On peut donc poser
jj =1 W + *»
(1) Voici, d'ailleurs, comment on peut démontrer cette réciproque.
Soit f[x) une fonction croissante pour tontes les valeurs de x comprises dans l'intervalle de a k à (a < 6). Soient a et § deux nombres quelconques, compris dans cet intervalle. Il suffit de prouver que, si a < p, on a aussi /(a) < /!(*)• D'après notre hypothèse, la fonction est croissante pour x = a et on peut déterminer un nombre positif t tel que, pour toutes les valeurs do x comprises entre a et a -f- c, la fonction prenne des râleurs plus grandes que /(a). Si donc p est inférieur ou égal à a ■+- e, la proposition est démontrée. Si non, posons
La fonction étant croissante pour x = xti on pourra déterminer un nombre C|f positif, tel que* pour les valours de x comprises entrent et xt -f- d, la fonction prenne des valeurs supérieures a f[*\) et, a fortiori, supérieures à f{<x). Si p est inférieur ou égal à *i + *!• I* proposition est démontrée. Si non, nous poserons, encore,
xx -f e, = rt
et noos continuerons de la sorte. Il suffit de montrer, qu'au bout d'un certain nombre d'opérations, on parviendra k un nombre xn tel q«ie p soit inférieur ou égal à
xn i j =s xn -f e» c*r» «lors, on aura
ZIP) > /(*,) >/(**,).> • • • > rt'i) > A«)-
Supposons, en effet, qu'en continuant do la sorte on no trouvo jamais un nombre xn , j supérieur ou égal k p. C'est qu'alors les nombres xtf je,,... jrn, *n+i% qui vont toujours en
croissant et qui restent inférieurs à p, auraient une limite Ç, lorsque n croît indéfiniment, plus petite que p, et qu'on ne pourrait dépasser en raisonnant comme nous l'avons fait. Ceci est, évidemment, impossible, car.Ç étant compris dans l'intervalle (a,6), la fonction f[x) serait croissante, pour x =r Ç, et on pourrait déterminer un nombre positif f) tel que la fonction prenne entre \ et \ — t\ des valeurs inférieures k f[l) et entre l et l + v\ des valeurs supérieures à fil). Donc dès que *n, qui a pour limite Ç, deviendrait supérieur kl — v), on pourrait prendre pour *M.i.i une valeur égale ou supérieure k \ ce qui est contraire a l'hypothèse. On pourrait donc dépasser le nombre Ç, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse de l'existence de Ç. La limite Ç, inférieure à p, no pouvant exister, il faut nécessairement qu'il existe un indice 11 tel que le nombre :
soit supérieur ou égal k p.
la quantité a tendant vers zéro en môme temps que h. On peut, alors, déterminer un nombre positif e tel que, lorsque h est, en valeur absolue, plus petit que e, la valeur absolue de a soit plus petite que f (a) (qui est positif, par hypothèse). Pour toutes ces valeurs de h, le quotient
sera du signe de f (a) et, par suite, positif.
La fonction est donc croissante pour # = a.
Réciproque du théorème I. — Lorsqu'une fonction est croissante, pour x = a, et quelle admet une dérivée, pour x = a, cette dérivée est positive ou nulle.
Par définition de la croissance, pour x~a, on peut déterminer un nombre positif s tel que, lorsque
h |< e, Ton ait
f{x) étant la fonction proposée. Or, quand h tend vers zéro, le quotient I ^— ' a> Par hypothèse, une limite f(a). Ce quotient
étant toujours positif, sa limite f (a) ne peut être que positive ou nulle (').
Théorème II. — Lorsqu'une fonction f(x) admet une dérivée négative, pour x = a, elle est décroissante pour x = a.
Réciproque du théorème II. — Lorsqu'une fonction est décroissante, pour x = a, et qu'elle admet une dérivée, pour x — a, cette dérivée est négative ou nulle.
Les démonstrations de ces propositions sont identiques à celles des propositions précédentes.
Exemples. — La dérivée de 2x + i est 2. Cette dérivée est toujours positive, la fonction est donc croissante pour toute valeur de x.
La fonction x* — 2# + 3 a pour dérivée 2(x — i). Cette dérivée est positive lorsque x > i et négative lorsque x < i. La fonction est croissante
(f) En effet, si la limite d'une quantité variable est négative, on peut toujours faire atteindre à cette quantité une valeur assez voisine de sa limite pour qu'elle soit du signe de cette limite et, par suite, négative. Une quantité toujours positive no saurait donc avoir une limita négative.
pour les valeurs de x plus grandes que 1 et décroissante pour les valeurs plus petites que 1.
La fonction - a pour dérivée — -5, qui est toujours négative. Celte
fonction est donc toujours décroissante.
120. Définitions. — I. On dit qu'une fonction est maxima, pour x = a, si on peut déterminer un nombre positif s tel que la valeur que prend la fonction pour x = a soit plus grande que toutes les autres valeurs qu'elle prend lorsque x reste compris entre a — eeta-f s.
La valeur de la fonction, pour x = a, est ce qu'on appelle un maximum de cette fonction.
II. Une fonction est dite minima, pour x = a, si on peut déterminer un nombre positif e tel que la valeur que prend la fonction pour x = a soit plus petite que toutes les autres valeurs qu'elle prend lorsque x reste compris entre a — e et a -f- e.
La valeur de la fonction, pour x = a, est ce qu'on appelle un minimum de cette fonction. \
Au fond, ces deux définitions reviennent à (lire que lorsqu'une fonction est maxima (ou minima), pour .r = a, sa valeur, pour x = a, est plus grande (ou plus petite) que toutes les valeurs voisine*.
Théorème. — Lorsqu'une fonction est maxima ou minima, pour x = a, et qu'elle admet une dérivée, pour cette valeur de la variable, cette dérivée est nulle.
En effet, la fonction étant maxima, pour x = a, f (a — h) est plus petit que f[a) lorsque h est positif et plus petit que s, on a donc
/•(„ h) - /"(a) < 0 et, par suite,
Au contraire, dans les mêmes conditions (0 < h << e), on a :
Lorsque h tend vers zéro, les deux quotients >
fla-h)-f(a) f{a + h)-f(a) -h el h
ont, par hypothèse, une limite commune f (a). Ces deux rapports étant de signes contraires, leur limite commune f (a) ne peut être que nulle, et on a :
La démonstration serait la même dans le cas du minimum.
Réciproquement ', si la dérivée s'annule, en passant du signe (+) au signe ( — ), quand x passe en croissant par a, la fonction est maxima pour x = a.
Car la dérivée étant positive de a — eàa, la fonction est croissante ( 77*. /) et la dérivée étant négative de a à a + e la fonction est décroissante [Th. II).
De même, si la dérivée s'annule en passant du signe ( — ) au signe .(+), quand x passe en croissant par a, la fonction est minima pour x = a.
Exemples. — La fonction
y = 3 + 4a? — x2 a pour dérivée * y' = 4 — 2x.
Lorsque x est plus petit que 2, la dérivée est positive, la fonction croit; lorsque x est plus grand que 2, la dérivée est négative, la fonction décroît; et, pour x = 2, la dérivée est nulle. La fonction est donc maxima pour x — 2. La valeur du maximum est :
La fonction
y r= .r3 — 2.r* + x + i a pour dérivée y' ~ 3.r2 — kx + 1.
Cette dérivée s*annule pour x = 1 et x = -; elle est négative quand x
est compris entre - et 1, positive quand x est plus grand que 1 et elle
s'annule pour x = 1. La fonction est donc minima pour x = 1. Le minimum est
On pourrait, d'ailleurs, remarquer que, pour £ = -,1a fonction est maxima.
Remarque I. — La dérivée d'une fonction s'annule, comme nous venons de le voir, lorsque cette fonction est maxima ou minima. Ce ne sont pas les seules circonstances où la dérivée s'annule acciden-
tellement. Lorsqu'une fonction est croissante ou décroissante, dans un intervalle, sa dérivée peut s'annuler dans cet intervalle (n° 119, llécip. des Th. I et //). Ainsi, la fonction (x — af a pour dérivée 3 (x — a)1. Cette dérivée est toujours positive, sauf pour x = a, valeur pour laquelle elle est nulle. La fonction n'est cependant ni maxima ni minima pour x = a, car elle est croissante de — ooàa et de a à -f- oo. Elle est donc toujours croissante de — ooà-f oo. Ce qui distingue le cas du maximum et du minimum, c'est que la dérivée s'annule en changeant de signe. Ainsi, dans l'exemple précédent, la dérivée s'annule, pour x = a, mais sans changer désigne, puisqu'elle est toujours positive, quand x est différent de a.
Remarque II. — Nous avons défini ce qu'on devait entendre par maximum absolu et minimum absolu (n° 97). Il est facile de voir qu'un maximum absolu est aussi un maximum, au sens plus général que nous venons de donner à ce mot. Car, si, parmi toutes les valeurs que peut prendre une fonction, il y en a une qui est plus grande que toutes les autres, cette valeur sera, a fortiori, plus grande que les valeurs voisines.
Pour distinguer les maxima et minima qui ne sont pas absolus de ceux qui le sont, on les nomme, souvent, maxima et minima relatifs.
Ainsi, dans les deux exemples précédents, la fonction 3 + kx — a? a un maximum absolu pour x = 2 (Voir n° 97), tandis que la fonction
j? — 2j?2 -[• .r -f 1 n'a qu'un maximum relatif pour x = - et un minimum
relatif pour# = 1 , car, comme nous le verrons plus loin (n° 122, Exemple II), cette fonction peut prendre toutes les valeurs possibles, de — œ à + °°-
121. Signification géométrique de la dérivée. — Rappelons, d'abord, qu'en géométrie analytique, toute équation du premier degré en x et y représente une droite (Voir les n0' 68 à 71). Si on résoud cette équation par rapport à y et qu'on la met sous
la forme
y = ax + b,
le coefficient a, de #, est ce qu'on appelle le coefficient angulaire. La parallèle menée par l'origine à cette droite a, comme nous le savons (n° 68), pour équation
y = ax.
Le coefficient b est ce qu'on appelle V ordonnée à l origine, car c'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe oy(x=0). b fixe donc la position d'un point de la droite. Le coefficient angu-
ÀLGEBRB ÉLÉMENTAIRE. 23
laire a fixe, ensuite, la direction delà droite, car, quand on connaît a, on connaît la parallèle menée par l'origine à cette droite.
La grandeur du coefficient angulaire de la droite, renseigne sur la grandeur de l'angle que fait cette droite avec Taxe ox. En effet, pour construire la parallèle y = ax, menée par l'origine des coordonnées, à la droite, on construit le point A dont les coordonnées sontl et a {fig. 37), c'est-à-dire qu'on prend, sur ox, OB = 1, puis, sur la parallèle BG à oy, BS = a. Si a est positif, le point A est audessus de ox et, lorsque a varie de 0 à + °°» Ie point A parcourt BC, depuis B, en s'éloignant indéfiniment du côté de G. Donc, quand a varie de 0 à + oo, l'angle xOk croit depuis 0 jusqu'à 90°; car, quand A s'éloigne indéfiniment , la droite OA tend à prendre la position oy parallèle à BG. Si a est négatif, le point A est en À' au-dessous de ox. Convenons , alors, de considérer l'angle xOA' comme négatif, c'est-àdire convenons de considérer comme négatifs les angles situés au-dessous de ox. Avec cette convention, quand a croit de — oo à0, le point A', d'abord infiniment éloigné sur BC, vers le bas, se déplace dans le sens BC, pour arriver en B. La droite OA' part donc de la position oy' pour arriver à la position ox, et l'angle A'Ox varie de — 90° à 0.
En résumé, quand a croit de — oo à -}- ©o, la demi-droite OÀ tourne toujours dans le même sens depuis la position oy' jusqu'à la position oy et l'angle xOK (avec notre convention de signe) croit de — 90° à-}- 90°. En d'autres termes, l'angle xOX varie dans le même sens que a (*).
(1) En trigonométrie, le coefficient angulaire a on sens très précis. En effet, dans le triangle
rectangle OBA (flg. 37) on a :
BA = OB.tga,
en désignant par « l'angle «OA. Or,
BÂ = a, OB = l;
donc,
a as tg*.
Le coefficient angulaire d'une droite est donc égal à la tangente trigonométrique de t angle eue fait cette droite avec taxe ox.
KiG. 37.
Une droite de coefficient angulaire nul est parallèle à ox.
Quand le coefficient angulaire croît indéfiniment, la droite tend à devenir parallèle à oy.
Lorsque le coefficient angulaire est égal à-f-l,le point A est sur la bissectrice de l'angle xoy et la droite est parallèle à la bissectrice th V angle xoy.
Lorsque le coefficient angulaire est égal à — 1, la droite est parallèle à la bissectrice de V angle xo/.
Théorème. — Lorsqu'une fonction admet une dérivée, pour une certaine valeur de la variable, x = x0, et qu'on représente la variation de cette fonction par une courbe, cette courbe admet une tangente au point dyabcisse x0 et le coefficient angulaire de cette tangente est la râleur de la dérivée de la fonction, pour x = x0.
Rappelons, d'abord, la définition de la tangente. Soit G (fig. 38) une courbe et M un point de cette courbe. Soit M' un point, pris sur
MVay, -h.jy0 +k)
FlG. 38.
la courbe, très voisin du point M. Joignons MM'. Si, lorsque le point M' se rapproche indéfiniment du point M, en suivant la courbe C, la droite MM' a une limite MT, cette limite est ce qu'on appelle la tangente, à la courbe, au point M.
Cela étant, soit y une fonction de la variable x. Soit y0 la valeur de y, pour x — x0, et M le point correspondant de la courbe C qui représente la variation de la fonction (fig. 38). Donnons à x un accroissement h et soit k l'accroissement correspondant de y. Pour x = x0 + h on aura y = y9 -f- k. Soit M' le point de la courbe de coordonnées x0 -\- h et y0 + k. Cherchons le coefficient angulaire a de la droite MM'.
Soit
y =z ax -\- b
l'équation de la droite MM'. Puisque les deux points M et M' sont sur cette droite, on a
y0 ~ ax0 + b et
d'où, en retranchant la première égalité de la seconde,
k = ah,
k Le coefficient angulaire de la droite MM' est donc -. Or, quand h
tend vers zéro, k tend vers zéro (car y est une fonction continue, puisqu'elle admet une dérivée), donc le point M' se rapproche indéfiniment du point M. D'ailleurs, par hypothèse, le coefficient angu-
k laire j de MM' a une limite, quand h tend vers zéro, qui est la valeur
y0' de la dérivée de y, pour x = x0. Il en résulte que la droite MM' a une limite, quand M' se rapproche indéfiniment du point M, et que cette limite MT a pour coefficient angulaire y'Q, c'est-à-dire la valeur de la dérivée de la fonction, pour x = x0.
Corollaire I. — Lorsqu'une fonction est maxima ou minima, et qu'elle admet une dérivée, la tangente, au point correspondant de la courbe représentative, est parallèle à ox.
Car, si la dérivée (et, par suite, la tangente) existe, cette dérivée est nulle. Le coefficient angulaire de la tangente est donc nul et cette tangente est parallèle à ox.
Corollaire IL — Lorsque la dérivée d'une fonction est infiniment grande, la tangente, à la courbe représentative, est parallèle à oy.
Car le coefficient angulaire de la tangente étant infiniment grand, cette tangente est parallèle à oy.
Le théorème que nous venons d'établir est du plus haut intérêt, puisqu'il permet de construire, en chaque point de la courbe représentative de la fonctionna tangente en ce point. Le tracé de la courbe est, dans ces conditions, très exactement déterminé.
122. Marche à suivre pour étudier la variation d'une fonction. — Pour étudier la variation d'une fonction, on commence par rechercher dans quels intervalles il faut faire varier la variable x pour que la fonction ait des valeurs bien déterminées et soit continue.
Ces intervalles déterminés, on calcule la dérivée de la fonction (si
elle en a une). On recherche, ensuite, dans les intervalles de continuité, les valeurs pour lesquelles la dérivée est nulle et celles pour lesquelles elle devient infiniment grande. On range ces valeurs particulières de la variable par ordre de grandeur croissante et on forme, ainsi, des intervalles consécutifs dans chacun desquels la dérivée conserve un signe constant. Le signe de la dérivée, dans ces intervalles, donne le sens de la variation de la fonction.
On calculera les valeurs particulières de la fonction : ses maxima et minima, ses valeurs pour x= -f- ©o ou x = — oo ; et, enfin, on construira la courbe représentative de la variation.
Pour avoir une détermination plus exacte de la courbe représentative, il sera bon de calculer la valeur que prend »/ pour x = 0, ce qui donnera le point où la courbe coupe Taxe mj . De même, on calculera, lorsque cela sri'a possible, les valeurs de x pour lesquelles */ s'annule, et on aura, ainsi, les points d'intersection de la courbe avec ox.
Nous allons d'abord donner des exemples de fonctions qui sont toujours continues quand x varie de — «à+oo,
Exemple I. — Étudier la variation de la fonction
Cette fonction est bien déterminée et continue pour toute valeur de x. Sa dérivée est :
qui change de signe pour x = 2.
Quand x croit de — oo à 2, la dérivée est positive, la fonction croit depuis — oo à un maximum 7. x croissant de 2 à + oo, la dérivée est négative, la fonction décroît depuis 7 jusqu'à — oo. Car il faut remarquer que, pour x = =fc oo , le polynôme est du signe de son terme de degré le plus élevé — x* rt infiniment grand (n° 113, App. II).
[1 est, toujours, commode, pour la lecture des résultats, de les résumer dans un tableau.
Dans ce tableau, les valeurs de la variable x sont inscrites, de haut en bas, dans la colonne x, par ordre de grandeur croissante.
Dans la colonne yr sont inscrits, en regard de chaque intervalle, les signes correspondants de la dérivée y'. Enfin, la colon ue y indique, pour chaque intervalle, le sens de la variation de la fonction et donne les valeurs remarquables de cette fonction.
— oo
+ oo
— oo
croit
7 (max.)
décroît
La courbe représentative est, comme nous le savons (n* 98), une parabole. Cette parabole coupe Taxe des y au point x = 0, y = 3 et coupe Taxe
des x en deux points dont les abcisses
sont: 2± \'l (f,g. 39).
Exemple II. — Étudier la variation de la fonction
Celte fonction est bien déterminée et continue pour toute valeur de x. Sa dérivée est
Cette dérivée s'annule pour x = 1 et
Nous avons donc trois intervalles à
considérer: ( — oo, - J , f-,|) et
(I, -|~ oo) dans chacun desquels la dériva conserve un signe constant.
x croissant de
FiG. 39.
- oo à ^, la dérivée
est positive, la fonction croit. D'ailleurs, pour x = — e© (n° 113, App. Il), le polynôme est infiniment grand et du signe de son terme de degré le plus élevé #3, donc négatif.
Pour x = -, il esl, maximum, égal à — . Donc, y croit de — oo à — .
Quand x croît de - à 1, la dérivée est négative: la fonction décroît de —
à un minimum 1.
Enfin, x croissant de 1 à + oo, la dérivée est positive et la fonction croit de 1 à + oo (car, pour x = + oo, a;3 est positif).
La discussion se résume dans le tableau suivant :
— oo
+ oo
croit
27 (ma'T)
décroît
1 (min.)
croît
-}♦ oo
Construisons la courbe représentative de la variation.
x croissant de — oo à -, on a une branche de courbe ascendante AB (fig. 40), partant de l'infini, à gauche en bas, et montant au maximum (relatif) B (r, '—). Celte branche coupe Taxe des x et Taxe des y. x
variant de - à I, la courbe redescend de B au minimum C (1, 4); pour
remonter, quand a: croit de 1 à -f oo, de C jusqu'à l'infini à droite, en haut.
Aux points B et C la tangente est horizontale (parallèle à ox), puisque y' = 0. Quand x croît indéfiniment, y' croît indéfiniment, donc les branches infinies BA et CO tendent à devenir parallèles à oy, puisque la tangente à ces branches tend à devenir parallèle à oy quand le point de contact s'éloigne indéfiniment.
Remarque I. — La courbe ne coupe qu'une seule fois l'axe ox. Il n'y a donc qu'une seule valeur de x qui annule y. En d'autres termes, l'équation du troisième degré
ar3 — 2x* + x -f 1 = 0
n'a qu'une seule racine, i*'ig. io.
qui est négative.
Remarque IL — La courbe a un point d'inflexion I, entre les deux points B et C. Ce point est facile à déterminer.
Dune façon générale, on peut voir que, chaque fois que la dérivée seconde y" s'annule, en changeant de signe, la courbe a une inflexion au point correspondant, c'est-à-dire traverse sa tangente. En effet, le signe de y" indique dans quel sens varie la dérivée y'. Or, y' varie dans le même sens que l'angle de la tangente à la courbe avec ox7 puisque y' est le coefficient angulaire de cette tangente (Voir n*12i); donc l'angle que fait la tangente à la courbe, avec ox, croit ou décroît suivant que y" est positif ou négatif. Si y" s'annule, en changeant de signe,' l'angle de la tangente avec ox change le sens de sa variation.
Ainsi, dans l'exemple actuel, on a
ov
yr = 2 (3a? — 2).
Quand x croit de — oo à -, y" est négatif; l'angle que fait la tangente
avec ox décroît, la tangente tourne dans le sens des aiguilles d'une montre.
Pour x = -, la tangente cesse de tourner dans ce sens et, quand x croit
de - à + oo, l'angle que fait la tangente avec ox croit, la tangente tourne o
dans le sens inverse de celui des aiguilles d'une montre. Ce changement
dans le sens de la rotation de la tangente produit, comme il est aisé de
le voir sur une figure, une inflexion. Donc, ici, la courbe a une inflexion
au point I dont les coordonnées sont :
exemple m. — Variation du trinôme bicarré.
Soit y = : ax* + àx* + c
un trinôme bicarré. — Il est continu, pour toute valeur de x, et admet une dérivée :
y' = kax* -f %bx = 2.r (Sn-r* + à).
On voit, de suite, qu'il y a lieu de distinguer deux cas suivant que a et 6 sont de même signe ou non. [Nous n'examinerons que le cas où a est
positif, car le cas de a négatif est tout à fait analogue.]
1° Soit 6^0. — La dérivée y' ne s'annule que pour x = 0, car le facteur 2ar* + 6 reste toujours positif.
Pour x = db ©o , le trinôme est du signe de son terme de degré le plus élevé ax*t donc positif.
Lorsque x croit de — oo à 0, la dérivée
est négative, y décroît de + oo à c, qui est un
jy minimum absolu, x croissant de 0 à + °°i 9
reprend toutes les valeurs précédentes en sens
inverse et croit de c à + ».
La courbe représentative (fig. 41) a la forme
(o.o d'une parabole ayant pour axe oy (mais ce n'est
pas une parabole). Elle coupe ou ne coupe
pas ox suivant que le trinôme a ou n'a pas de
Fig. 41. racines, c'est-à-dire suivant que c est négatif
ou positif.
2° Soit 6 < 0. — La dérivée y' s'annule pour trois valeurs différentes de* :
Quand x croit de — oo à — y — ~, la dérivée est négative, la fonction y
APPLICATION DES DÉRIVÉES A 1,1 VARIATION DES FONCTIONS. 361 décroît de -{- oo à — , qui est un minimum absolu, x croissant
kac — 6» ,
à c, qui est
de — y — — à 0, la dérivée est positive et y croit de
un maximum relatif.
Lorsque x croit, à partir de zéro, le trinôme reprend, en sens inverse, toutes les valeurs précédentes, car, si on donne à x des valeurs égales et de signes contraires, le trinôme prend la même valeur.
. 4ac — 6*
Ainsi, x croissant de 0 à + t/— -— , y décroît de c
sant de + y — —à + °°i V croît de — ^ — à + oo. Cette discussion se résume dans le tableau suivant :
; et x crois-
oo
-{- oo
décroît
4ac — 6*
(min. abs.)
croit
c (fna.r. relat.) décroît
4ac — 6*
[min, abs.)
croit
-f- oo
La courbe représentative est symétrique par rapport à oy; car, si un point M, de coordonnées x et y (flg. 42), appartient à la courbe, le point M' de coordonnées — x et y, qui est le symétrique par rapport à oy, appartient aussi à la courbe.
x variant de — oo à — y — — , on a une branche de courbe infinie AB descendant d'un point très éloigné, à gauche en haut, au minimum R.
Puis, x croissant de — \/ à 0, la courbe remonte du minimum B
à un maximum G, sur oy.
x croissant, ensuite, à partir de zéro, on a la branche CB'À' symétrique de la précédente par rapport à («y (*).
Les tangentes en B, C et B' sont parallèles à ox.
Celte fonction est continue, pour toutes les valeurs de ,r, sauf pour x = I. Elle admet une dérivée qui est :
Celle dérivée est toujours négative, donc la fonction est toujours décroissante.
Pour x = db oo, la fraction se présente sous la forme indéterminée —
oo
Mais nous savons {n° H3, App. III) que, quand x croit indéfiniment, y tend vers 1, qui est le rapport des coefficients des termes de degré le plus élevé.
Donc, .t croissant de — oo à i, y décroît de i à — oo ; car, quand x
(1) Dans la figure 42 nous avons représenté la courbe coupant ox en deux pointe. Suivant les grandeurs numériques dos coefficients a, 6, c, la courbe peut : ou bien ne pas rencontrer
Taxe ox, ou le couper en deux points ou le couper on quatre points. Car, - étant négatif, le trinôme bicarré peut avoir, suivant les cas, 0, X ou 4 racines.
tend vers 4 par des valeurs plus petites que 1, la fraction croit indéfiniment par valeurs négatives.
Lorsque x passe par la valeur J, y change désigne et passe brusquement
de — oo à + oo.
Enfin , quand x croit dei à + °°» V décroît de + °° à 1. Cette discussion se résume dans le tableau suivant :
OO
+ oo
décroît
oo
■j- oo
décroît
Dans ce tableau, nous avons tracé une barre horizontale en face de la valeur 1, de x, pour indiquer que, pour x = I, y' et y n'ont pas des valeurs bien déterminées.
Pour construire la courbe représentative, traçons (fig. 43) la droite Ali qui a pour équation
Soit N un point de la courbe et NR la perpendiculaire à o.r, qui coupe Ait en H. On a, évidemment,
NH = RH — ÏÏN = i — y.
Or, lorsque x croît indéfiniment, y tend vers 1. Ceci prouve que, lorsque le point R s'éloigne, indéfiniment, sur. v'x, la distance NH, du point N de la courbe à la droite AB, tend vers zéro. On dit, alors, que la droite AB est asymptote à la branche de courbe infinie.
Pour x — — oo, le point R est infiniment éloigné dans la direction ox/ : on a donc une branche de courbe asymptote à AB à gauche (d'ailleurs audessous, car y < 1). Lorsque x croît de — oo à 1, y décroît de 1 à -f- °° et la branche de courbe NM, asymptote à AB, descend.
Pour nous rendre compte de ce qui se passe lorsque x tend vers 1, traçons d'abord la droite DEC, parallèle à oy, qui a pour équation
Donnons à x une valeur plus petite que I, mais très voisine de 4, y aura une valeur négative très grande en valeur absolue et nous obtiendrons un
point M très éloigné vers le bas. Soit P le pied de la perpendiculaire abaissée de M sur ox et Q le pied de la perpendiculaire abaissée de M sur CD ; P est à gauche de E. Lorsque x tend vers \ , le point P se rapproche de plus en plus du point E, et, comme on a, évidemment,
PE = MQ,
la dislance MQ, du point M à la droite CD, tend vers zéro, D'ailleurs, puisque y croit indéfiniment, MP croit indéfiniment, Donc, lorsque x tend vers 1 en
Fie 13.
croissant, le point M descend, en s'éloignanl indéfiniment, tandis que sa dis lance à CD tend vers zéro : la branche de courbe est asymptote à CD.
Supposons, ensuite, qu'on donne à x une valeur OP' un peu supérieure à 1. Le point P' sera à droite de E et on aura un point M' de la courbe très éloigné vers le haut, car y est très grand et positif. Si on fait tendre x vers 1, en décroissant, le point P' tendra vers E et la distance M'Q' de M' à CD tendra vers zéro. Comme M'P' croit indéfiniment, le point M' s'éloignera indéfiniment. On a donc une branche de courbe asymptote à CD en haut et à gauche : x croissant, à partir de I, la branche descend asymptote à CD.
Lorsque x croit indéfiniment (x = + ©o) la branche de courbe devient, en
descendant, asymptote à AB. En eifet, soit I\T/ le point de la courbe qui correspond aune valeur positive très grande de a?. Soient H7 et IV les points d'intersection de la parallèle à oyf menée par N', avec AB et ox. On a :
Donc, lorsque x croit indéfiniment, H'N' tend vers zéro, puisque y tend vers i. Le point N' s'éloigne indéfiniment tandis que sa distance à AB tend vers zéro. Le point N' décrit une branche de courbe infinie, dite asymptote à AB.
En résumé, la courbe représentative se compose de deux branches de courbe MN et M'N' toutes deux descendantes, toutes deux infinies et toutes deux asymptotes aux droites ABet CD. (Cette courbe est, d'ailleurs, une hyperbole.)
Remarque. — L'étude de la variation d'une fraction quelconque de la forme
conduit à des résultats tout à fait semblables aux précédents. La courbe a toujours deux asymptotes : Tune, parallèle à oy, qui a pour équation
l'autre, parallèle à ox, qui a pour équation
La fonction varie toujours dans le même sens, car sa dérivée
, ab' — ba' y - (a'x -f 6')*
conserve toujours le signe de ab' — 6a'. Il n'y a exception que si «6' — 6a' = 0, mais, alors, on a :
a h â~fZ=b'y
et la fouction y est constante et égale à —.
L'exemple précédent nous a montré une courbe qui a des branches infinies telles que, lorsqu'un point s'éloigne indéfiniment sur une telle branche, sa distance à une droite fixe (parallèle à ox ou non) tende vers zéro. Cette droite fixe est ce que nous avons appelé une asymptote. Ceci nous conduit à dire quelques mots sur ce sujet.
ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
Définition. — On dit qu'une branche de courbe C, qui a des points infiniment éloignés, est asymptote à une droite AB {fig. 44) lorsque la dislance MH, d'un point quelconque M de cette branche de courbe à la droite AB, tend vers zéro, lorsque le point M s'éloigne indéfiniment sur la branche de courbe.
1° Si la droite AB n'est pas parallèle à oy, il faut et il suffit , pour quelle soit asymptote, que la différence MM' entre l'ordonnée du point M
Fig. 44.
de la courbe et l'ordonnée du point M' de cette droite, qui a même abcisse, tende vers zéro quand M s'éloigne indéfiniment (fig. 44). En^effet, le triangle MM'H reste toujours semblable à lui-même
