AB < BC

on a : AC = BC — AB

et le sens de la résultante est celui de sgBC.

On voit donc que, suivant les cas, il faut trois formules différentes pour donner la longueur de la résultante et que chaque fois il faut adjoindre à la formule une indication pour donner le sens de la résultante.

Comme nous le verrons plus loin, l'introduction des deux classes de nombres nous permettra de substituer à ces trois formules une formule unique qui donnera, à ta fou, la longueur et le sens de la résultante.

Pour donner la mesure d'une grandeur ayant un sens, il suffira de prendre le nombre arithmétique qui mesure cette grandeur et de lui adjoindre un signe distinctif pour indiquer le sens de la grandeur. Au premier abord, il semble qu'on pourra prendre ce signe distinctif arbitrairement. Par exemple, pour indiquer des degrés de température, on pourrait affecter tous les degrés au-dessus de zéro de l'indice a et tous ceux au-dessous de zéro de l'indice A; ainsi, 5rt indiquerait 5 degrés au-dessus de zéro et 4» indiquerait 4 degrés au-dessous de zéro. On pourrait, au Heu d'indices, employer des accents ou tout autre mode de distinction. Mais une discussion approfondie de la question vous conduit rapidement à la conclusion que, parmi tous les signes distinctifs que l'on pourrait employer, ceux qu'il est le plus

commode et même qu'il est presque nécessaire d'adopter sont les signes -f- et — qui servent en arithmétique à indiquer l'addition et la soustraction (*). Ainsi, pour distinguer les degrés de température au-dessus de zéro des degrés au-dessous de zéro, on fait précéder les premiers du signe ( + ) et les seconds du signe ( — ). On a ainsi deux classes de nombres, ceux qui sont précédés du signe ( + ) qui mesurent les températures au-dessus de zéro, ceux qui sont précédés du signe ( — ) qui mesurent les températures au-dessous de zéro et, à ces deux classes, il faut ajouter le nombre zéro qui n'appartient à aucune des deux et qui est la température qui sert de trait d'union entre les deux classes. Ainsi, au lieu d'indiquer S degrés au-dessus de zéro par 5rt on l'indiquera par -f-5 et, pour 4 degrés au-dessous de zéro, on prendra — 4 au lieu de 46.

5. Définitions. — On appelle nombre positif tout nombre (arithmétique), autre que zéro, précédé du signe +• On appelle nombre négatif tout nombre (arithmétique), autre que zéro, précédé du signe — .

L'ensemble des nombres positifs et négatifs auquel on adjoint le nombre zéro, qui n'a aucun signe, forme ce qu'on appelle les nombres algébriques.

On appelle valeur absolue ou module d'un nombre algébrique le nombre arithmétique que l'on obtient en supprimant son signe. Ainsi, la valeur absolue de +3 est 3. Pour indiquer la valeur absolue d'un nombre, on le place entre deux barres verticales.

a | désigne la valeur absolue du nombre algébrique a .

Dans la suite de ce chapitre, pour éviter toute confusion, nous désignerons toujours un nombre algébrique par une petite lettre, et un nombre arithmétique par une grande lettre.

Deux nombres algébriques sont dits égaux lorsqu'ils ont même râleur absolue et même signe. Dans le cas contraire, ils sont dits inégaux. Pour désigner l'égalité ou l'inégalité de deux nombres algébriques, nous emploierons les signes habituels = (égal) et ^ (inégal).

(1) Voir a ce sujet : Méray, Les fraction* et le* quantité* négative* (Nouvelles Annales de Mathématiques, .!• série, t. VIII et IX). H. Padè, Premières leçon* tC Algèbre élémentaire (Gauthier-ViUars et fil», 1892).

12 ALGEBRE ÉLÉMENTAIKE.

Deux nombres algébriques sont dits égaux et de signes contraires lorsqu'ils ont même valeur absolue et des signes contraires. Ainsi,

+ 3 et — 3, +M^t — -sont égaux et de signes contraires (').

Remarque. — Il faut bien remarquer que les signes + et — qui servent à distinguer les deux classes de nombres n'ont, malgré leur analogie avec les signes d'addition et de soustraction, aucune signification opérative, jusqu'à nouvel ordre du moins.

6. Addition. — Étant donnés deux nombres algébriques, on appelle somme de ces deux nombres, le nombre obtenu de la façon suivante :

1° Si les deux nombres sont de même signe, on fait la somme [arithmétique) des valeurs absolues, et on lui donne le signe coihmun des deux nombres.

2° Si les deux nombres sont de signes contraires, on fait la différence (arithmétique) des valeurs absolues, et on lui donne le signe de celui des deux nombres qui a la plus grande valeur absolue. Dans le cas particulier où les deux nombres ont même valeur absolue, c'est-à-dire sont égaux et de signes contraires, leur somme est 0.

3° Si l'un des deux nombres est 0, la somme est égale à l'autre.

Nous emploierons, pour désigner la somme, le signe +, comme en arithmétique; et, pour ne pas confondre le signe + de l'opération avec les signes distinctifs des nombres positifs et négatifs, nous placerons les nombres et leurs signes dans des parenthèses, pour bien indiquer que le signe fait corps avec le nombre.

Exemples : (4- 4) + (4- S) = (-f 0),

(4- 4} -f (- 5) = (- ij, (- 4) + {+ S; = (4- i;, ( 4) + ( 5) = (- 9), (4- 4) 4- 0 = (4- 4), ( 4) 4- 0 = (- 4).

Remarque. — Il résulte, immédiatement, de la définition de la somme de deux nombres, que

a 4- h = b + a ; car rien dans la définition n'indique quel est celui des deux nombres

(i) L'expression égaux et désignes contraires est évidemment défectueuse ; car deux nombres égaux ne peuvent avoir des signes contraires. M. Padé propose de substituer à cette expression celle de symétrique* qui est certainement très bien choisie, mais, la première expression étant complètement entrée dans les usages du langage mathématique, nous avons cru devoir la conserver, quoique vicieuse.

qu'on écrit le premier et une somme arithmétique de deux nombres arithmétiques ne dépend pas de Tordre de ces nombres.

Ainsi, ajouter ai à b revient au même q^ ajouter b à a, car dans les deux cas, c'est faire la somme de a et b.

Définition. — Etant donnés plusieurs nombres algébriques, a, b, c, d, faire la somme a + b + c + d, c'est faire la somme de a et de b, au résultat ajouter c et au nouveau résultat ajouter d. Nous désignerons par ( a + b ) la somme a + b effectuée (') ; on a, alors, d'après notre définition,

De même, (a + b-\-c) désignant la somme effectuée, on a :

Exemple :

(+4) + (- 3)"= (+ I), donc :

et, par suite :

Lorsque les nombres ne sont pas donnés par des lettres, pour indiquer leur somme, on se contente de les écrire à la suite les uns des autres en supprimant les signes -f- . Gela simplifie l'écriture sans donner lieu à des ambiguïtés. Ainsi, au lieu de

on écrit, plus simplement,

et au lieu de: (-3) + ( + |)+ (~gj + ( + 2)

on écrit: — 3 + r — ^ + 2.

7. Nous appellerons axe une droite sur laquelle un sens de parcours a été choisi. Ce sens sera ce que nous appellerons le sens

(I) D'une manière générale, lorsqu'on veut indiquer qu'une opération quelconque est effectuée^ on place le symbole, qui indique l'opération à effectuer, entre parenthèses.

positif ou sens direct. Le sens opposé au sens positif est le sensnégatif ou sens contraire.

Étant donné un axe (c'est-à-dire une droite sur laquelle on a choisi un sens positif) et un segment porté par cet axe, on appelle mesure algébrique du segment le nombre algébrique qui a pour valeur absolue la longueur du segment, et pour signe le signe ( -f- ) ou ( — ) suivant que le sens du segment est le sens positif ou le sens négatif de l'axe.

On voit que l'introduction des nombres algébriques nous permet bien de donner une mesure du segment qui fait connaître à la fois la longueur et le sens du segment. Pour désigner la mesure algébrique d'un segment, nous tracerons au-dessus des deux lettres qui désignent le segment un trait horizontal. Ainsi AB désigne la mesure algébrique de sg AB.

Remarque. — 11 résulte, immédiatement, de la définition que les mesures algébriques de deux segments égaux et de sens contraires

sont des nombres égaux et de signes contraires; ainsi AB et BA sont deux nombres égaux et de signes contraires. Par suite, on a toujours :