BC = BI

En effet, le milieu M de OD est, alors, entre 0 et E. Si donc on élève une perpendiculaire en M, surOD, elle coupera le cercle en deux points G et G' et les sécantes HGK et H'G'K' sont telles que

HG = GK = H'G' = G'K' = ^.

11 y a, alors, deux positions qui donnent un maximum absolu, ce sont les sécantes G H et G'H'. Le maximum du produit est alors

d d d9 2GK X GH = 2?. ^ = y-

Dans ce second cas, la position OD donne un minimum relatif, lorsque le point B décrit la demi-circonférence F'ËF, de F' en F. Car, on voit que la différence BG — BI décroît jusqu'à zéro lorsque B va de F' en G\ puis croit (en valeur absolue) de G7 en E, décroît de E en G et croit de G en F, Ceci montre, en appliquant le théorème 1, que le produit croit quand B va de F' en G7, décroît de G' en E, croit de E en G et décroît de G en F. Il y a donc bien un minimum relatif lorsque B est en E.

Théorème II. — Im somme de deux nombres positifs, variables, dont le produit est constant, varie dans le même sens que la valeur absolue de leur différence.

Soient, en effet, deux nombres positifs x et y dont le produit est égal à a* :

xy = a2.

L'identité

(* + yY={x — yf + tey

donne :

Cette égalité prouve bien que (x -f- y,2, ou x -f- y, varie dans le même sens que(x — y)*, ou | a* — y | , puisqu'on déduit (a? -j- y)1 de (or — y)* en lui ajoutant une quantité fixe.

Corollaire. — La somme de deux nombres positifs, variables, dont le produit est constant, est minima absolue lorsque la différence de ces deux nombres est la plus petite possible, en valeur absolue.

En particulier, si les deux nombres peuvent devenir égaux, la somme est minima lorsque les deux nombres sont égaux et égaux à leur moyenne géométrique («).

Remarque I. — L'égalité (1) prouve que (ff + y)1 est toujours supérieur ou au moins égal à 4a* et, par suite, que x + y est toujours au moins égal à la. Donc :

La somme de deux nombres positifs est toujours supérieure ou au moins égale à la somme obtenue en les supposant égaux et égaux à leur moyenne géométrique.

(Ceci ne suppose pas que les nombres puissent devenir égaux) ('}.

Remarque II. — On aurait pu étudier la variation de la somme en se servant des dérivées.

On a, en effet,

Désignons par z la somme x -\- y, on a :

s =ff -I — .

Comme les deux nombres x et y doivent être positifs, on ne donnera à x que des valeurs positives. On fera donc varier x de 0 à -f- °°- Pour toutes ces valeurs, sauf pour x = 0, la fonction est continue et admet une dérivée :

(1) On appelle moyenne géométrique, ou encore moyenne proportionnelle, de deux nombres positifs, la racine carrée de leur produit. Ainsi, g désignant la moyenne géométrique des deux nombres a et 6, on a, par définition,

g* = abt g = \ab;

do \h on conclut quo

égalité qui permet de construire géométriquement la longueur g quand on connaît le* longueurs a et b. (Voir Exercice 4.)

(2) Au fond, cette proposition ainsi que celle qui fait l'objet de la Remarque I qui suit I* théorème I, prouve que la moyenne arithmétique de deux nombres est plus grande que leur moyenne géométrique. (Voie Exercice 4.)