RECHERCHE DIRECTE DE QUELQUES MAXIMA ET MINIMA ABSOLUS

Cette dérivée s'annule pour x = ± a. Mais, comme nous ne donnons à x que des valeurs positives, la seule valeur à considérer est x= a (a> 0).

Quand x croît de 0 à a, la dérivée z' est négative et la fonction z décroît de + oo à 2a. Ensuite, x croissant de a à + °°, la dérivée z' est positive et z croît de 2a à -f- ©o. La valeur 2a est donc bien un minimum absolu pour la somme z, lorsque x et y sont positifs.

Exemple. — Parmi tous les triangles rectangles qui ont même aire, quel est celui qui a la plus petite hypoténuse ?

Soient a? et y les deux côtés de langle droit, 5 A:' la surface, on aura

xy = A*.

Or, si z désigne l'hypoténuse, on a :

z sera minimum en même temps que z2. Or, z9 est la somme de deux nombres dont le produit

est constant. Le minimum aura donc lieu lorsque

a?» = y* ou x = y.

Le triangle rectangle qui a la plus petite hypoténuse est donc le triangle rectangle isocèle.

427. Les deux théorèmes que nous venons d'établir se généralisent, dans une certaine mesure, et s'étendent au cas de plusieurs facteurs positifs (!).

Théorème I. — Un produit de plusieurs facteurs positifs est inférieur ou au plus égal au produit obtenu en remplaçant chacun de ces facteurs par leur moyenne arithmétique (2).

Pour démontrer cette proposition, nous montrerons, d'abord, que, si elle est vraie pour un certain nombre de facteurs, elle est encore vraie quand le nombre des facteurs est deux fois plus grand.

(1) Ce sont les énoncés qui sont contenus dans les Remarques I, qui suivent les théorèmes I et II du n* 126, qui se généralisent.

Le mode d'exposition que nous emploierons, dans ce paragraphe, est dû à M. Darboux.

(2) On appelle moyenne arithmétique de m nombres le quotient de la somme de ces nombres par m. Ainsi,

est la moyentfe arithmétique des quatre nombres a, 6, c et à\

Supposons, en effet, que le théorème soit vrai pour le cas de m Facteurs, et soit

P = îi/ ... ztx'y' ... ztr

un produit de 2m facteurs positifs. Soit a la moyenne arithmétique de ces facteurs :

2ma = x + y + ... + z + t + x' + yf + ... +5' + /';

soit b la moyenne arithmétique des m premiers et b' la moyenne arithmétique des m derniers :

mb = x -j- y +...+- + '»

mb' = x' + 1/ + ... + z' + t'.

On a, évidemment,

m (b + b') = 2ma ou : b + b' = 2a,

ce qui prouve que a est la moyenne arithmétique de b et b'.

Cela étant, puisque, par hypothèse, le théorème est vrai dans le cas de m facteurs, on a les deux inégalités :

xy ... zt ^b ,

En les multipliant, membre à membre, on obtient :

Or, a étant la moyenne arithmétique de b et b\ et la proposition étant vraie pour deux facteurs (n° 126, Th. /, Rem. /), on a :

bb' < a\

d'où, a fortiori,

Le théorème ayant été établi dans le cas de deux facteurs, on en conclut qu'il est encore vrai dans le cas de quatre, huit, seize facteurs. D'une manière générale, il est vrai dans le cas où le nombre des facteurs est une puissance de 2.

La proposition s'étend, alors, sans difficulté, au cas où le nombre des facteurs est quelconque. Soit en effet P un produit de m facteurs positifs (m quelconque), dont la moyenne arithmétique est a. Soit q