RECHERCHE DIRECTE DE QUELQUES MAXIMA ET M INI M A ABSOLUS

un entier tel que m -\~ q soit une puissance de 2. Adjoignons, aux m facteurs du produit P, q facteurs égaux à a, nous obtiendrons un nouveau produit, Paq, dew + Ç facteurs, dont la moyenne arithmétique sera encore a. Le nombre m + q des facteurs de ce nouveau produit étant une puissance de 2, on pourra lui appliquer le théorème, et on aura :

d'où, en divisant les deux membres de cette inégalité par a9,

et c'est ce qu'il fallait prouver.

Cette démonstration montre, en outre, que le produit P est pluspetit que am dès qu'un facteur est différent de a ; car, puisque cela a lieu pour deux facteurs, c'est vrai dans tous les cas. Il n'est donc égal à am que lorsque les facteurs sont égaux. Ceci conduit au corollaire suivant :

Corollaire. — Le produit de plusieurs facteurs positifs, variables, dont la somnieW^^Êtffttm^ÊK^ûmum absolu lorsque ces facteurs sont égaux, s'ils peuvent le deve^WT

Exemple. — Pa)%mi tous les triangles de même périmètre celui qui a la plus grande surface est le triangle équilatfral.

Soient, en effet, 2p le périmètre du triangle et x, y, z les longueurs des côtés. On sait que la surface S du triangle est donnée par la formule :

11 est évident que S sera maximum en même temps que le produit

Or, dans ce produit la somme des facteurs est constante. Car p — x + p — y + p — z = dp — [x + y + z) = dp — 2p = p,

ce produit sera donc maximum lorsque les trois facteurs seront égaux, s'ils peuvent le devenir, c'est-à-dire lorsque

Les trois côtés du triangle sont égaux, le triangle est équilàtéral.

Théorème II. — La somme de plusieurs nombres positifs est supérieure ou au moins égale à la somme obtenue en remplaçant chacun des nombres par leur moyenne géométrique (*).

Soit, en effet,

une somme de m nombres positifs. Soit 9 leur moyenne géométrique. On a, par définition,

my/xyz ...tu = g

ou

xyz ...tu = gm.

Or, — étant la moyenne arithmétique des m nombres, d'après le m

théorème précédent on a

xyz... tu<? ^-J

et, par suite,

S De là on conclut, puisque g et — sont des nombres positifs, que

ou que

S ^ mg.

Ce qu'il fallait prouver.

H faut remarquer encore ici qu'il n'y a égalité que dans le cas où les nombres sont égaux (puisque cela a lieu dans le théorème précédent). On en conclut le corollaire suivant :

Corollaire. — Une somme de nombres positifs, variables, dont le produit est constant, est minima absolue lorsque ces nombres sont égaux, s'ils peuvent le devenir.

(!) On appelle moyenne géométrique de m nombres positifs la racine m&<M de leur produit. Ainsi,

\abc... fg est la moyenne géométrique des m nombres a, b, c,.... f, g.