RECHERCHE DIRECTE DE QUELQUES MAXIM A ET MINIMA ABSOLUS

Remarque. — Les théorèmes I et II ne sont, au fond, que deux formes différentes d'une même proposition qui est la suivante :

La moyenne arithmétique de plusieurs nombres positifs est supérieure ou au moins égale à leur moyenne géométrique.

Exemple. — Parmi tous les triangles de même surface, celui qui a le plus petit périmètre est le triangle équilatéral.

Soient en effet a?, y, z les longueurs des côtés, a2 la surface et 2p le périmètre. On a :

y/p (p — x)(p — y) (p — z) = a* ou :

P (P ~ *) (p — y) (P — *) = «*• Ceci peut s'écrire :

*+% + g (V + s - a) (* + * - y) (» + y -- z) = y a* . Or on a :

par suite, le périmètre x + y + s étant la somme de quatre nombres positifs dont le produit est constant, sera minimum lorsque

ci ?ui es* possible, car ces égalités sont compatibles et entraînent

Le triangle cherché est donc équilatéral.

Remarque. — En rapprochant cet exemple du précédent, on voit que, parmi tous les triangles de même périmètre, le triangle équilatéral a la plus grande surface et que, parmi tous les triangles de même surface, le triangle équilatéral a le plus petit périmètre. Il y a dans ces deux propositions une sorte de réciprocité qui existe dans toutes les questions de même nature.

L'existence de cette réciprocité se met, d'ailleurs, en évidence dans la façon même dont nous avons démontré le théorème II. Au fond, le théorème II n'est qu'une conséquence immédiate du théorème I et, d'ailleurs, réciproquement, si on avait démontré le théorème II directement, on aurait vu que le théorème I pourrait s'en déduire, d'une façon analogue à celle dont le théorème II a été déduit du théorème I.

Ainsi, nous avons vu que, parmi tous les triangles rectangles qui ont même aire, le triangle isocèle a la plus petite hypoténuse. On peut, maintenant, dire que, réciproquement, parmi tous les triangles rectangles qui ont même hypoténuse, le triangle rectangle isocèle a la plus grande surface.

Exemple. — Parmi tous les parallélipipèdes rectangles de même volume celui qui a la plus petite surface totale est le cube.

Soient x, y, z les trois dimensions du parallélipipède et a3 son volume. On a :

xy s = a*.

D'autre part, la surface totale est :

S = 2 (xy + yz + zx).

La quantité entre parenthèses est une somme de trois facteurs positifs dont le produit est constant, car

(xy) (yz) (zx) = a*y*z2 = «6.

La surface S sera donc minima lorsque

xy = yz = zx ou x= y = z ;

c'est-à-dire lorsque le parallélipipède sera un cube.

On peut remarquer que, dans les mêmes conditions, la somme des longueurs de toutes les arêtes, qui est

est minima.

On pourrait d'ailleurs, énoncer la proposition corrélative et dire que : parmi tous les parallélipipèdes rectangles qui ont même surface totale, le cube est celui qui a le plus grand volume.

428. Les deux propositions qui font l'objet du paragraphe précédent peuvent être, elles-mêmes, étendues aux cas où les nombres positifs sont affectés d'exposants, dans le produit.

Théorème I. — l'n produit de plusieurs puissances positives de facteurs positifs, variables, dont la somme est constante, est maximum lorsque ces facteurs sont proportionnels à leurs exposants, s'ils peuvent le devenir.

En tous cas, le produit reste au plus égal au produit obtenu dans cette dernière hypothèse.

Soit, par exemple, le produit