RECHERCHE DIRECTE DE QUELQUES MAXIMA ET MINIMA ABSOLUS

où a, ,8, y désignent des nombres positifs entiers et «r, y, z des nombres positifs variables, mais tels que la somme

soit constante.

Le produit P esl, évidemment, maximum en même temps que le produit

qui peut s'écrire :

n — £ - f £ y y ' z 2 z ia »PP P Y Y Y

Sous cette forme, on voit que le produit Q est un produit de

a -f- 8 -f- Y facteurs dont a sont égaux à - , p égaux à '| et y égaux

à - . La somme de ces a -f- B -f- Y facteurs est Y

et, par suite, constante. Donc (n° 127, 77*. 7, Coroll.) ce produit Q, et, par suite, le produit P, est maximum quand les facteurs sont égaux, s'ils peuvent le devenir; c'est-à-dire lorsque :

.r, y, z doivent, donc, être proportionnels aux exposants. Les égalités (1), jointes à la relation

déterminent les valeurs de x, y, z, qui sont :

a« 8a va

La valeur du maximum est donc :

( *a y f fis— Y f— k— V= (r— î— V+'+T.Yt

\«+?+t/ Wp+r/ \«+P+t/ V*+?+t/ PT

Si les facteurs x,y,zne peuvent pas devenir proportionnels à leurs exposants, on peut, cependant, affirmer que Ton a, toujours,

Remarque. — Nous avons supposé les exposants a, p, y entiers. Cette supposition n'est pas nécessaire. En effet, si les exposants a, ($,? sont fractionnaires, on peut les réduire au même dénominateur. Soit, alors,

on aura :

Or, P sera, évidemment, maximum en même temps que sa puissance qiâm* :

Po m m' iii"

et, d'après ce que nous venons de voir, le maximum de P* aura lieu lorsque

Ceci peut s'écrire :

ou

Exemple. — Trouver le maximum du volume d'un cône droit dont Faire latérale est donnée.

Soit x le rayon de base du cône et y sa hauteur ; ira* Taire latérale donnée: On a :

&ou y = —