AB + BA

Théorème. — La mesure algébrique de la résultante de plusieurs segments est égale à la somme des mesures algébriques de ces segments.

Pour démontrer la proposition, nous pouvons toujours supposer les segments placés bout à bout puisque, pour former la résultante, on les place toujours ainsi.

1° Prenons le cas de deux segments sg AB et sg BG dont la résultante est sgXC.

Si les deux segments sont de même sens, leurs mesures algébriques

AB et BC sont de même signe. La valeur absolue de la somme

AB -}- BC est donc égale à la somme AB + BC des valeurs absolues des mesures algébriques des segments; et le signe de cette somme est le signe commun des deux nombres. D'autre part, le point B étant entre A et C, on a :

La valeur absolue de la mesure algébrique de la résultante est donc aussi AB -j- BC; et, comme celte résultante est de même sens que les deux segments, elle a même signe que leurs mesures algébriques. On a donc bien :

puisque les deux membres ont même valeur absolue et même signe. Si les deux segments sont de sens contraires, puisque la résultante ne change pas quand on change Tordre des deux segments et que la somme de deux nombres algébriques est indépendante de Tordre de ces deux nombres, nous pouvons toujours supposer que sg\B est celui des deux segments qui a la plus grande longueur. Les

mesures algébriques des deux segments AB et BC étant de signes contraires et, puisque AB > BC, la valeur absolue de la somme

ÂB + BC est AB — BC et son signe celui de AB. D'autre part, le point C tombe entre A et B et, par suite, on a :

la valeur absolue de la mesure algébrique de la résultante est donc aussi AB — BC. D'ailleurs, la résultante étant de même sens que

jn/AB, AC est aussi de même signe que AB. On a donc, encore,

AC = ÂB + BC.

Dans le cas particulier où les deux segments sont égaux et de sens contraires leur résultante est nulle, mais, alors, leurs mesures algébriques sont égales et de signes contraires et ont aussi une somme nulle.

2° Le théorème étant vrai pour le cas de deux segments, s'étend facilement au cas de plusieurs segments. Soient Sw S2, S3, S4 quatre segments et #„ x2, .v3, s4 leurs mesures algébriques. Soit R, la résultante de St et S2 et r, sa mesure algébrique; R, la résultante de R, et de S, et r2 sa mesure algébrique; R la résultante de R2 et S4 et r sa mesure algébrique. R est la résultante des quatre segments. Or, d'après la première partie de la démonstration, on a les égalités

ri = «i + *ii r, = rt + *,

et r = rt + si ;

r est donc le nombre obtenu en faisant la somme de st et «2, en ajoutant «, au résultat rn et en ajoutant *A au nouveau résultat /-2. Donc, par définition, on a :

ce qui démontre le théorème.

Remarque. — Ce théorème très important nous montre, comme nous l'avions annoncé plus haut (n° 4), qu'une seule et même formule

donne dans tous les cas la longueur et le sens de la résultante de deux ou plusieurs segments.

"*^ 8. Théorème I. — Dans une somme de nombres algébriques on peut intervertir V ordre des parties sans modifier la valeur de la somme.

Ce théorème, comme nous l'avons remarqué, découle de la définition même de la somme pour le cas de deux nombres ; il suffît donc de l'établir pour le cas de plus de deux nombres. Soient, par exemple, quatre nombres algébriques a, 6, c, d; je dis que

A cet effet, prenons un axe, sur lequel un sens positif est déterminé, et construisons sur cet axe quatre segments, sgk, sgB, sgC et sgl) ayant, respectivement, pour mesures algébriques, a, b, c et d. Soit xgR la résultante de ces quatre segments et r sa mesure algébrique. Prenons d'abord les segments dans Tordre sgk, sgB, sgC, sgD pour former leur résultante sgR. On aura, d'après le théorème précédent (n<> 7) :

Changeons Tordre des segments et prenons-les dans Tordre sgC, sgD, sgB, sgk, leur résultante ne changera pas, comme nous le savons (n° 3), et sera encore sgR. En prenant les mesures algébriques, on aura, alors

(2) Vv r = c + d + b -f a.

Et, par suite, en rapprochant les égalités (1) et (2),

Théorème II. — Dans une somme de plusieurs nombres algébriques, on peut remplacer plusieurs nombres par leur somme effectuée et, réciproquement, on peut remplacer un nombre par plusieurs nombres dont il est la somme.

Considérons, en effet, la somme a-\-b-\-c-\-d-\-eti soit s la somme des trois nombres b, c et d; je dis que Ton a

Prenons un axe et construisons sur cet axe cinq segments sgk, s^B, sgC, sgD et sgE ayant, respectivement, pour mesures algébriques, a, b,c,dele; soit sgR la résultante de ces cinq segments et r sa mesure algébrique, et enfin, soit sgS la résultante des trois segments sgB, sgC, sgD. D'après le théorème du n° 7, * sera la

mesure algébrique de sgS. Mais, d après un théorème connu (n° 3), sgh sera aussi la résultante des trois segments sg\, sgS et sgE. On aura donc les deux égalités

en appliquant le théorème du n° 7 au a/R, considéré comme la résultante soit des cinq premiers segments, soit des trois derniers. De ces deux égalités on conclut l'égalité (1).

Réciproquement, soit a -f- * + e une somme, et soient 6, c, d trois nombres tels que

b -f- c -j- d = s, je dis que

En effet, considérons de nouveau les segments qui ont pour mesures algébriques a, b, c, d, e et s : s^A, *</B, «grC, *jD, *#E et *</S, soit sgR la résultante des trois segments sgk, *</S, *</E et r sa mesure algébrique, on a (n° 7) :

D après un théorème précédent (n° 3), on sait qu'on peut remplacer le sgS par les trois segments w/B, *yC, sgD dont il est la résultante.

Donc, «9R, étant la résultante des cinq segments sgk, sgB, */C, sgD et sgE, on a aussi

r = /ï + 6 + c + rf + ^ï d'où

Remarque I. — 11 n'est pas nécessaire que les nombres, que Ton remplace par leur somme effectuée, soient consécutifs; ils peuvent être distribués d'une façon quelconque, car, avant de les remplacer par leur somme effectuée, on peut toujours supposer qu'on les a amenés, au préalable, à être consécutifs en changeant Tordre des nombres dans la somme.

Remarque II. — On voit que les sommes de nombres algébriques jouissent des deux propriétés principales des sommes arithmétiques, à savoir qu'on peut intervertir l'ordre des parties et remplacer plusieurs nombres p*r leur somme effectuée.

Algèbre él£msitaiie. 2

Corollaire. — Pour ajouter une somme, il suffit d'ajouter successivement chacune des parties.

Ceci résulte immédiatement du théorème précédent, car, si on désigne par (c + d + e) la somme effectuée, on a

et le premier membre exprime qu'on ajoute à a + * la somme effectuée (c + à -f- e) , et le second qu'on ajoute successivement chacune des parties.

Application. — Il résulte des deux théorèmes précédents que, pour faire une somme de nombres algébriques, on peut prendre les nombres dans tel ordre que Ton voudra, par exemple, on peut d'abord placer tous les nombres positifs, puis tous les nombres négatifs, faire la somme des nombres positifs et la somme des nombres négatifs, et on est alors ramené à faire la somme d'un nombre positif et d'un nombre négatif. Ainsi, par exemple,

On peut énoncer ceci sous forme de règle :

Règle. — Pour faire la somme de plusieurs nombres algébriques, on fait, séparément, la somme des nombres positifs et la somme des nombres négatifs, et on ajoute le nombre positif et le nombre négatif ainsi obtenus.

Exemples :

Pratiquement, on se dispense d'intervertir Tordre des termes et on fait, d'une part, la somme des nombres positifs et, d'autre part, la somme des nombres négatifs, opérations qui se font par de simples additions arithmétiques. Ainsi :