RECHERCHE DIRECTE DE QUELQUES MAXIMA ET MIN1MA ABSOLUS

Le volume est donc :

V = r rcx*y ~ ~ «x \V — x4.

Pour avoir le maximum de V, il suffit de chercher le maximum de

x V«4 — #4 ou de la puissance quatrième

Ceci est un produil des deux facteurs a?4 et «4 — a4, dont la somme est constante, alfectés, respectivement, des exposants 1 et 2. Ce produit est donc maximum quand les facteurs sont proportionnels à leurs exposants :

D ou x4 = -- , x = rr

et : y = a .-^.

Remarque» — On aurait pu éviter d'élever à la quatrième puissance en écrivant

x Va4 — ff4 s (.r4)4 (a4 — x4j*.

Les deux facteurs x4 et a4 — x4, dont la somme est constante, sont

affectés des exposants fractionnaires - et - . Donc, en appliquant le théorème

précédent, qui est encore vrai pour les exposants fractionnaires, on doit avoir

Ce qui donne la même valeur pour x :

Théorème II. — Une somme de nombres positifs, variables, tels que le produit de certaines puissances positives de ces nombres reste constant, est minima absolue lorsque ces nombres sont proportionnels à leurs exposants, sf ils peuvent le devenir.

En tous cas, la somme reste supérieure à la somme obtenue dans cette dernière hypothèse.

Soit, en effet, la somme

ar, y, z désignant des nombres variables, tels que le produit

reste constant, a, p, y désignant des nombres positifs entiers. (Ici on a toujours le droit de supposer a, p, y entiers, car, s'il n'en était pas ainsi, il suffirait d'élever les deux membres de l'égalité (1) à une puissance convenable pour qu'il en soit ainsi.) La somme S peut

s'écrire

ou :

<xa afsp P Y Y ï

et, sous cette forme, on voit qu'elle est la somme de a + P+ y nom-

bres dont a sont égaux à — , P égaux à \ et y égaux à -. D'ailleurs,

le produit de ces nombres est constant, car ce produit est :

bNt

Donc la somme S sera minima (n° 127, 77t. //, CorolL) lorsque ces nombres seront égaux, c'est-à-dire lorsque

si c'est possible. Ce qui exprime que x,y et z sont proportionnels à leurs exposants.

Les valeurs de x, y, z, pour le minimum, se calculent au moyen des relations (1) et (2) et on trouve :

ce qui donne, pour le minimum de la somme :

a«-t-H-ï rHm-t ^M-?+t