RFXHERCHE DIRECTE DE QUELQUES MAXIMA ET MIMMA ABSOLUS

D'ailleurs, lorsque les nombres .r, y, z ne peuvent pas devenir proportionnels à leurs exposants, on a, cependant, toujours

Exemple. — Quelle est la calotte sphérique, de volume donné, qui a la plus petite surface convexe ?

Soit x le rayon de base de la calotte et y sa hauteur, le volume de la calotte est :

Ce volume restant constant, le produit

y (ys + 3*3) = a* r^ste constant. La surface de la calotte est

S = * (x* + y*) « I ui peut s'écrire :

La quantité entre crochets est une somme de deux nombres dont le produit des puissances suivantes :

est constant. La surface S sera donc minima lorsques les deux termes seront proportionnels aux exposants, c'est-à-dire lorsque

Ce qui donne :

La calotte sphérique, de volume donné, qui a la surface convexe la plus petite est donc la demi-sphère.

180. Parmi tous les triangles isocèles inscrits dans un même cercle, quel est celui qui a la plus grande aire?

181. Parmi tous les rectangles inscrits dans un même cercle quel est celui qui a la plus grande surface?

182. De tous les triangles rectangles pour lesquels le produit de la hauteur par l'un des segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse est constant, quel est celui qui a la plus petite hypoténuse ?

183. Minimum du périmètre d'un triangle rectangle circonscrit à un cercle donné.

184. Maximum du produit de trois nombres, en progression géométrique, dont la

somme est constante et égale à a.

(Bacc.y Pans.)

185. Variation de la surface d'un trapèze isocèle circonscrit k une circonférence donnée. Minimum de la surface.

(Bacc, Paris.)

186. Quel est le parallélipipède de volume maximum inscrit dans une sphère donnée?

187. Dans une sphère donnée on inscrit un cône équilatéral ; mener un plan parallèle à la base tel que la somme des aires des sections faites dans la sphère et dans le cône soit maxima.

188. Circonscrire à une sphère un cône de surface latérale minima.

189. Dans un cercle donné, de rayon R, tracer une corde de manière, qu'en la faisant tourner autour du diamètre qui lui est parallèle, ta surface engendrée soit maxima. j^ \

190. De tous les cylindres de même volume, quel est celiA dont la surface totale est minima ? :

191. Inscrire dans une sphère donnée un cône dont la surface latérale soit maxima, ou dont le volume soit minimum.

192. Un cône a son sommet au centre d'une sphère donnée, de rayon R, il a pour base un petit cercle de la sphère. Quelle doit être la distance de ce petit cercle au centre de la sphère pour que le volume du cône soit maximum?

193. Trouver le minimum de Taire d'un triangle isocèle circonscrit à un cercle donné.— (Il sera plus commode de chercher le maximum de l'inverse de cette aire.)