CHAPITRE PREMIER
129. Définition. — On appelle progression arithmétique ou progression par différence, une suite de termes tels que l'excès d'un terme quelconque sur le précédent soit constant. Cet excès constant est ce qu'on appelle la raison de la progression. — On indique une progression arithmétique en faisant précéder le premier terme du signe -T" et en séparant deux termes consécutifs par un point. Ainsi,
est une progression arithmétique si
r désignant la raison. * On a, alors,
Chaque terme de la progression se déduit du précédent en lui ajoutant la raison (4).
(1) On peut remarquer qu'une progression arithmétique est aussi une suite de termes telle que chaque terme soit la moyenne arithmétique des deux termes qui le comprennent, car, si on a
on en conclut
Lorsque la raison est positive, chaque terme est plus grand que le précédent et la progression est dite croissante. Au contraire, lorsque la raison est négative, chaque terme est plus petit que le précédent et la progression est dite décroissante.
Problème I. — Calculer le terme de rang n dans une progression arithmétique lorsqu'on connaît le premier terme a et la raison r.
Le premier terme est a ; le second est a -f- r ; le troisième s'obtient en ajoutant r au second, il est donc égal à « + 2r. En ajoutant rà celui-ci, on obtient le quatrième qui est a -f- 3r, et ainsi de suite. On voit, qu'en général :
Pour obtenir un terme quelconque il faut ajouter au premier terme autant de fois la raison que le terme cherché a de termes devant lui.
Ainsi, le terme de rang n est
Corollaire. — Dans une progression arithmétique illimitée i1; k terme de rang n croît indéfiniment avec n.
exemples. — La suite des nombres entiers forme une progression arithmétique croissante, illimitée, de raison 1 :
La suite des nombres impairs forme une progression croissante de raison 2 :
le niènie nombre impair est donc, d'après la règle précédente :
La suite
-4-4.2.0.— 2 . — 4 . — 6 . — 8 . est une progression arithmétique décroissante de raison (— 2).
Problème II. — Insertion de moyens arithmétiques.
Insérer [n — 1) moyens arithmétiques entre deux nombres a et b c'fsl former une progression arithmétique limitée, de (n -j- 1 ) termes, dont a soit le premier terme et b le dernier.
(i) Une progression arithmétique peut être limitée, c'est-à-dire avoir un nombre détermin<; de termes, ou être illimitée, c'est-à-dire telle qu'après chaque ternie il y en ait un autre. On conçoit fort bi«»n qu'il n'y ait aucune limite à la formation des termes successifs.
Soit r la raison de la progression inconnue, b étant le (n-f-l)'™' terme de la progression, on a (Prob. I)
b = a -f- wr, d'où
La raison étant connue, il est facile de former les moyens qui sont :
. b — a , b — a . ~b — a ,, ay b — a a-\ , a + 2 , a + 3 , a + n — 1) .
Exemple. — Si on insère 9 moyens arithmétiques entre 1 et 2, la raison est 0,1 et les moyens sont :
Remarque. — Si, entre deux termes consécutifs d'une progression arithmétique, on insère le même nombre de moyens, on forme-une nouvelle progression continue. Ainsi, soit :
une progression de raison r. Si on insère entre a et b, entre b et c, entre c et rf, etc., un même nombre de moyens, (n — 1) par exemple, on formera des progressions partielles dont les raisons seront :
n il n
Toutes ces raisons sont égales à -. Toutes les progressions partielles ont donc même raison et, comme le dernier terme de chacune de ces progressions partielles est le premier terme de la suivante,
r elles forment, en tout, une seule progression continue de raison -.
Ainsi, si, dans la suite des nombres entiers, on insère, entre deux nombres entiers consécutifs, 9 moyens arithmétiques on forme une progression continue de raison 0,1 :
130. Théorème I. — Dans une progression arithmétique limitée la somme de deux termes équidistants des extrêmes est constante et égale à la somme des termes extrêmes.
Soit, en effet,
une progression arithmétique limitée de raison r.
Soit g le terme qui en a p avant lui et h le terme qui en a p après lui.
On a : g = a-\-pr (1).
D'autre part, si on commence la progression au terme A, / sera le terme de la nouvelle progression qui en a p avant lui et on a
{Prob. I)
l = h -\-pr
ou
h=*l—pr (2).
En ajoutant, membre à membre, les égalités (1) et (2), on a :
Remarque. — On aurait pu établir l'égalité (2) en remarquant qu'en renversant Tordre des termes de la progression, on obtient une nouvelle progression
de raison ( — r). Dans cette nouvelle progression, l est le premier terme et h est le terme qui en &p avant lui. Donc (Prob. I)
h = / + p ( — r) = / — pr.
Théorème II. — Somme des termes d'une progression arithmétique limitée.
La somme des termes d'une progression arithmétique limitée est égale au produit du nombre des termes par la demi-somme des termes extrêmes.
Soit, en effet,
une progression arithmétique limitée et S la somme de ses termes :
L'expression S s'écrit encore, en intervertissant Tordre des termes :
Eh additionnant les deux valeurs de S, (1) et (2), on a :
Dans cette expression, chacune des quantités entre parenthèses est la somme de deux termes équidistants des extrêmes, elle est donc égale (Th. I) à la somme (« + /) des extrêmes. D'ailleurs, comme il y a autant de parenthèses qu'il y a de termes dans la progression, on a, en désignant par n le nombre des termes de la progression,
d'où
Remarque. — Comme la progression a n termes, on a, en désignant par r la raison,
/— a-{-(n — l)r et, par suite, l'expression de la somme S devient :
Exemple I. — Somme des n premiers nombres entiers. Les n premiers nombres entiers forment une progression dont le premier terme est 1 et le dernier n, la somme est donc :
Ainsi, la somme des 1 000 premiers nombres entiers est :
1000x1001 KAA8AA x = 500500.
éé
Exemple II. — Somme des n premiers nombres impairs. Les n premiers nombres impairs forment une progression de raison 2 dont le premier terme est 1. On a donc :
402 ALGÈBBE ÉLÉMENTAIRE.
ou, en simplifiant :
La somme des n premiers nombres impairs est donc égale au carré de n.
Ceci peut servir à la construction d'une table contenant les carrés des nombres entiers (').
Application. — Somme des carrés des n premiers nombres entiers.
Nous partirons de l'identité suivante :
n(n + l)tn + 2) — (n— 1) n(n + 1) = 3n2 + 3n.
Faisons, dans cette identité, successivement, n = 1 , n = 2, n =3, etc.. et nous obtiendrons les égalités suivantes :
1X2X3 = 3xla+3xl
Ajoutons toutes ces égalités, membres à membres, et posons :
S1=i+2 + 3 + ... + {n-.l) + nf S2=l* + 22+32 + ... + (n — l)>+«2;
il vient, toutes simplifications faites,
n(n + l)(n + 2) = 3Sâ + 3S^
Or, nous connaissons St et on a (Exemple /)
on a donc,
3si=:»(» + i)(»+^)-3w(>!+1) = >t(w+1)0(2ft + 1);
on en tire
qui est la valeur cherchée de la somme Sa des carrés des n premiers nombres entiers.
(I) Voir dans les Leçons d'arithmétique de M. Tannery, les n«* 280 et 281.
De même, en partant de l'identité
on calculera, de la même façon, la somme S3 des cubes des n premiers nombres entiers, connaissant S, et Sâ. On trouve, ainsi,
La méthode est évidemment générale et on pourra ainsi, de proche en proche, calculer toutes les sommes des puissances entières des /* premiers nombres entiers.
