Soit

-7-fl.ô.c h . k . I

une progression arithmétique limitée de raison r. Les égalités (1) b = a+ry c=6-|-r, ... l = k + r,

élevées au cube, donnent :

6» = a8 + 3a*r + 3ar* + r», c» = 68 -f 3ô*r + 36rJ + r»,

jfc' = /*« -|- 3AV -+ 3àr« + r»,

Si on désigne par Si la somme des termes de la progression, par S, la somme des carrés des termes de la progression,

on a, en ajoutant membre à membre les égalités précédentes :

(/ -f >•)• = a» + 3rSj + 3r*S, + n>*,

n désignant le nombre des termes de la progression. Connaissant S,,

on tire de cette égalité S,.

On propose de généraliser cette méthode et de montrer qu'en élevant, successivement, les égalités (1) à la quatrième, à la cinquième puissance, etc..., et en les ajoutant, on pourra calculer la somme S* des cubes des termes connaissant S, et S», puis la somme S4 des quatrièmes puissances connaissant les précédentes, etc...

Comme application, on demande de calculer, par ce procédé, la somme des carrés et la somme des cubes des n premiers nombres entiers.

Cette nouvelle manière de calculer les sommes des puissances semblables des n premiers nombres entiers peut servir à démontrer les propositions suivantes :

Soit 9 (n) la somme des puissances pièBM des n premiers nombres entiers :

9p (n) = lp + 9'' + 3* + ... + (n - 1)" + n'.

En remarquant que Ton a :

et que 9 (0) = 0, démontrer que 9 (n) est un polynôme entier par rapport à n et déterminer ce polynôme entier.

Montrer que 9^ (n) est aussi un polynôme entier par rapport k In + 5) et qu'il

ne contient que des puissances de cette quantité dont les exposants sont de même parité que p.

202 bis. Calculer les sommes suivantes :