CHAPITRE II
131. Définition. — On appelle progression géométrique une suite de termes tels que le rapport d'un terme quelconque au précédent soit constant.
Ce rapport constant est ce qu'on appelle la raison de la progression.— On indique une progression géométrique en faisant précéder le premier terme du signe -H- et en séparant deux termes consécutifs par deux points. Ainsi,
est une progression géométrique si
q désignant la raison.
On tire de là,
b = aq, c = bq, d = cq, ....
Chaque terme est donc égal au produit du précédent par la raison (*).
Si la valeur absolue de la raison q est plus grande que l,les termes vont en croissant, en valeur absolue, et la progression est dite croissante; si, au contraire, la raison q est plus petite que 1, en valeur absolue, les termes décroissent, en valeur absolue, et la progression est dite décroissante.
Une progression géométrique peut être limitée, c'est-à-dire avoir un nombre déterminé de termes, ou encore être illimitée, c'est-àdire être telle qu'après chaque terme il yen ait un autre. On conçoit fort bien la possibilité de l'existence de ces dernières progressions,
(I; Uno progression géométrique est encore une suite de ternies tels que chaque terme soit la moyenne géométrique entre les deux termes qui le comprennent. Car, si on a :
6 = \ac, c = y "«" •♦ on en conclut :
h c e ri
car, étant donné un nombre quelconque et une raison q, on peut, toujours, multiplier ce nombre par q.
Problème I. — Calculer le terme de rang n dans une progression géométrique dont on connaît le premier terme a et la raison q.
Le second terme est égal à aq\ le troisième terme est le produit du second par q, il est donc égal à aq-. En multipliant par q, on a le quatrième terme aqz ; et ainsi de suite. On voit, qu'en général :
Pour obtenir un terme quelconque il faut multiplier le premier terme par autant de fois la raison qu'il y a de termes avant celui qu'on veut calculer.
Ainsi, le terme de ranç n est
aq
Exemples. — La suite
forme uue progression géométrique croissante de raison 10. Le n«é»»« terme
est I0Ï,I.
La suite
•' - 2 ' 4 * 8 " ' est une progression géomélrique décroissante de raison -. Le nihne terme
est
Problème II. — Insertion de moyens géométriques.
Insérer (n — 1) moyens géométriques entre deux nombres a et b, c'est former une progression géométrique, de (n -f- 1) teignes, dont a soit le premier terme et b le dernier.
Soit q la raison de la progression inconnue. Puisque b est le (n + î)iéme terme de la progression, on a (Probl. I) :
b = aq11 d'où
» lb
La raison q étant connue, il est facile de former les moyens qui sont les (n — 1) termes intermédiaires de la progression
Remarque I. — Lorsqu'on insère un moyen géométrique entre deux nombres on obtient la moyenne géométrique des deux nombres. Car, si n = 2, le moyen est :
al/- = yjab.
Remarque II. — Si, entre deux termes consécutifs quelconques d'une progression géométrique, on insère le même nombre de moyens, on forme une nouvelle progression continue. Ainsi, soit
une progression géométrique de raison q. Si on insère entre a et A, entre b et c, entre c et d, etc., un même nombre (w — 1) de moyens, on forme des progressions partielles dont les raisons sont
vi y r V?
Or, toutes ces raisons sont égales et égales à V?; toutes les progressions partielles ont donc même raison, et, comme le dernier terme de chacune de ces progressions partielles est, précisément, le premier terme de la progression suivante, elles forment, en tout,
une seule progression continue de raison "Jq.
Ainsi, soit la progression
Si, entre deux termes consécutifs, on insère la moyenne géométrique, on forme une nouvelle progression
~ 1 : y/fl : a : a\a : «* : aVâ : a3 :...
de raison \^a.
132. Voici quelques propositions sur la somme et le produit des termes de progressions géométriques limitées.
Théorème I. — La somme des termes d'une progression géométrique limitée est égale au quotient de Vexcès du produit du dernier terme par la raison sur le premier terme par Vexcès de la raison sur l'unité.
Soit la progression géométrique limitée
de raison q. L» somme des termes est :
Faisons le produit Sq et remarquons que Ton a :
aq = b, bq = c, .... hq = &, kq = /,
il vient :
(2) S q = b + c + .... + A + k + l + lq.
Retranchons, membre à membre, les égalités (1) et (2) et nous obtenons :
S (q — 1) =lq — a,
Remarque. — Soit n le nombre des termes de la progression, on a [Prob. I)
l z=z aq Ce qui nous donne l'expression suivante pour S :
On aurait, d'ailleurs, obtenu facilement cette expression par voie directe. En effet, on a :
S = a -f aq -j- aq -J- .... + fl?""* + fl?n i ou
Or, la division de qn — 1 par q — 1 donne l'identité bien connue (Voir n° 49, App. Il)
Il i 2 , . n— % . n-i Q *
+ ? + ? + •••+? +q =Vrf
(1 ) H faut remarquer que ceci suppose q =£ i. Si g était égal à i , tous les termes de la progression seraient égaux et la somme des termes serait égale à n fois le premier :
Ssim.
Nous ne nous occuperons pas de ces progressions particulières qui ne sont ni croissantes ni décroissantes.
110 ALGEBRE ELEMENTAIRE.
En multipliant les deux membres par a on retrouve :
Exemples. — On a :
+ 3 + 9 + 27 "" 1 "" Ti
Théorème H. — Dans une progression géométrique limitée, le produit de deux termes équidistants des extrêmes est constant et égal au produit des tournes extrêmes.
Soit, en effet, la progression géométrique
-tt* a i ù i c i .... g '. .... J l ... '. H '. n '. I
de raison q, dans laquelle g est le terme qui en a^) avant lui et f le terme qui en a p après lui. On a, d'abord,
g =i aq i\\.
D'autre part, si on commence la progression au terme /", / sera le terme qui en a p avant lui et on a :
et, par suite,
En multipliant, membre à membre, les égalités (1) et (2) il vient :
fg = al.
Remarque. — L'égalité (2) résulte encore de ce fait que, si on renverse l'ordre des termes dans la progression, on obtient une nouvelle progression
-— l i k i h i ... J \ ... g i . ... cibla
de raison - dans laquelle l est le premier terme et f celui qui en a />
avant lui.
Théorème III. — Le carré du produit des termes d'une progression géométrique limitée est égal à la puissance du produit des termes extrêmes dont V exposant est le nombre des termes de la progression.
Soit la progression géométrique limitée
et P le produit de ses termes :
P = abc ... hkl (1).
Dans le produit P écrivons les facteurs dans Tordre inverse, on aura :
P = Ikh ... cba (2).
Multiplions les égalités (1) et (2), membre à membre, il vient :
P2= (al) (bk) (ch) .... [hc) (kb) [la).
Or, les parenthèses, dont le produit est égal à P , sont toutes égales à al, car elles sont formées du produit de deux termes équidistants des extrêmes (TA. 77). Comme il y a autant de parenthèses que de
termes, on en conclut que P est le produit d'autant de facteurs égaux à al qu'il y a de termes dans la progression. Si donc n est Le nombre des termes de la progression, on a :
P2 = (al)\ On en tire :
P = y (air (').
Remarque. — q désignant la raison de la progression, on a :
l = aq
D'où
PJ 2n n[n— l) = \a q
ou
n ln—l.
Pn — LS — = a q * .
(I) On peut rapprocher tes théorèmes II et III de ce paragraphe, des théorèmes I et II du n* 1 30.
Le procédé de raisonnement employé dans ces propositions sert aussi dans des questions d'arithmétique. —Ainsi, pour calculer le produit des diviseurs d'un nombre entier, on range, d'abord» ces diviseurs par ordre de grandeur croissante et on montre que le produit de deux diviseurs équidistants des extrêmes eBt égal au nombre donné. — De même, si on range, par ordre de grandeur croissante, les nombres plus petits qu'un nombre entier donné et premiers avec lui, on voit aisément qne la somme de deux nombres équidistants des extrêmes est égale au nombre donné ; ce qui permet de calculer la somme des nombres plus petits qu'un nombre donné et premiers avec lui.
Le nombre — - est certainement entier, car n(n — 1) est cer-
té
tainement pair.
Cette dernière formule pourrait s'obtenir directement de la façon suivante :
La progression peut s'écrire :
— a : aq : .... aq : aq
Le produit P contient donc n fois le facteur a et il contient le facteur q h un exposant qui est la somme des exposants de q dans les divers termes de la progression. L'exposant de q est donc la somme des (n — 1) premiers nombres entiers et, par suite (n° 1 30, Exemp. /),
est égal à . On a donc,
P — anq~T—.
133. Les propositions, que nous avons établies dans le paragraphe précédent, n'ont plus, telles qu'elles ont été énoncées, aucun sens pour les progressions illimitées. Cependant, les progressions illimitées peuvent être considérées comme issues de progressions limitées, dont on fait croître indéfiniment le nombre des termes, et, dans ce sens, on est conduit à se demander si les sommes des termes de ces progressions limitées ont des limites lorsque le nombre des termes croit indéfiniment. C'est ce que nous allons examiner.
Lemme. — a désignant un nombre positif et n un nombre entier, on a, toujours, V inégalité
Cette inégalité est facile à vérifier pour les valeurs 2 et 3 de n. Car on a :
(1 + a)« = 1 + 2a + a», (1 -fa)»=l-}-3a+3a2 + a»;
Si. la proposition est vraie pour un certain exposant entier p, elle est aussi vraie pour l'entier suivant (p -|- 1). Supposons, en effet, que Ton ait
multiplions les deux membres de cette inégalité par 1 + a, il vient :
Si, dans le second membre, on supprime le terme /)**, on diminue ce membre et on a, a fortiori,
(i+«rf,>i+(^+i)«.
La proposition est donc générale car, puisqu'elle est vraie pour n = 3, elle est vraie pour n = 4; étant vraie pour n = 4, elle est vraie pour n = 5; et ainsi de suite.
Théorème I. — Une puissance entière, positive, d'un nombre plus grand que l'unité croît indéfiniment en même temps que son exposant.
Soit, en effet, qn une puissance entière, positive, du nombre q plus grand que l'unité. Puisque q est plus grand que 1, nous pouvons poser
x désignant un nombre positif. Soit, alors, A un nombre positif donné à l'avance ; puisque, d'après le lemme,
gn=(i + *r>i+„a,
on aura certainement
?n>A, si
1 + fia > A,
c'est-à-dire si
qn crott donc indéfiniment en même temps que n, puisqu'à tout nombre positif A, on peut faire correspondre un nombre
tel que l'inégalité
m> B entraîne l'inégalité
qn > A.
Corollaire. — Le teigne de rang n d'une progression géométrique illimitée, croissante, croit indéfiniment en même temps que n. Car le terme de rang n, dans la progression dont le premier terme
est a et la raison q, est aqn~ .
La progression étant croissante, q est plus grand que 1, donc qn~l croît indéfiniment en même temps que n et il en est de même de
aqn~* puisque a est un nombre fixe non nul (n° 112, Th. II).
Théorème II. — Toute puissance entière, positive, d'un nombre plus petit que l'unité tend vers zéro quand son exposant croit indéfiniment.
Soit, en effet, q uu nombre plus petit que 1 et q' son inverse; q' sera plus grand que 1 et on a :
Or, d'après le théorème I, lorsque n croît indéfiniment, q'n croit
indéfiniment, donc son inverse qn tend vers zéro (n° 1 12, Th. III, CorolL).
Corollaire. — Le terme de rang n d'une progression géométrique illimitée, décroissante, tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment.
Car le terme de rang n est aqn~ .
La progression étant décroissante, q est plus petit que 1 , qu~v tend vers zéro, quand n croît indéfiniment, il en est donc de même de
^n^(nMll, Th. II).
Théorème III. — La somme des n premiers termes d'une progression géométrique illimitée :
1° Croît indéfiniment avec n lorsque la progression est croissante;
2° Tend vers une limite déterminée, qui est le quotient du premier terme par l'excès de l'unité sur la raison, lorsque n croît indéfiniment, si la progression est décroissante.
a et q étant le premier terme et la raison de la progression, la somme Sn des n premiers termes est, comme nous savons,
1° Si la progression est croissante, q est plus grand que 1, qn croît indéfiniment avec n, il en est donc de même, en vertu des théorèmes établis sur les limites (n0- 111 et 112), de Sn.
2° Si la progression est décroissante, q est plus petit que 1, qn tend
vers zéro quand n crofl indéfiniment (qn — l) a pour limite ( — 1) et Sn (Voir n° 1 11) a une limite qui est :
— in
La limite de Sn est donc bien le quotient du premier terme a par
l'excès (1 — q) de l'unité sur la raison. Remarque. — On dit qu'une suite indéfinie de termes
est donnée, si Ton sait calculer un terme quelconque u quand on
connaît son rang n. Ainsi, les termes d'une progression arithmétique ou géométrique illimitée forment une suite, car on sait (Prob. I) calculer le terme de rang n de chacune de ces suites. On dit qu'une suite infinie
forme une série convergente, si la somme
S = u. + ti + \i + .... -f- « ,
des n premiers termes, tend vers une limite bien déterminée, quand n croît indéfiniment.
Au contraire, on dit que la suite forme une série divergente si la
somme Sn ne tend vers aucune limite ou croît indéfiniment, quand n croît indéfiniment.
Dans ces conditions, on voit qu'on peut dire que toute progression arithmétique illimitée forme une série divergente. Toute progression géométrique illimitée, décroissante, forme une série convergente, et toute progression géométrique illimitée, croissante, forme une série divergente. Pour indiquer que, dans une progression décroissante, la
limite de la somme des n premiers termes est - — — , quand n croît
indéfiniment, on écrit souvent l'égalité :
a + a(l + ff?f + •••• + aq* + .... = ; .
Gomme nous venons de le voir, pour qu'une progression géométrique forme une série convergente, il faut et il suffît que cette progression soit décroissante. Il est bon de remarquer que cette
condition, qui est suffisante dans le cas d'une progression géométrique, ne Test pas pour une série quelconque. Il faudrait bien se garder de croire que toute suite de nombres décroissants forme une série convergente. Ainsi, on démontre aisément, que la suite
formée par les inverses des nombres entiers, pris dans Tordre naturel, forme une série divergente ; c'est-à-dire que la somme :
croit indéfiniment en même temps que ». Exemples :
IL j *3 . 13 13 100 13 100 + (100)1 + (100)»+ "" "^(iOO)»4"* 1 ""99
ïffi
La somme
Sn = i + x + x* + x* + ... + x*
a une limite qui est quand | x \ < 1 et croit indéfiniment lorsque
203. Toute fraction décimale périodique illimitée, par exemple
peut être considérée comme la somme des termes d'une progression géométrique décroissante illimitée :
îûô + (ioo)« + (iouj» + "•
Retrouver, de cette manière, la règle pour former la fraction génératrice d'une fraction décimale périodique.
204. Trouver trois nombres en progression géométrique connaissant leur somme a et l'excès b du troisième sur le premier.
Applications : a = 221, b = 136;
204ki*. Déterminer une progression géométrique de 7 termes connaissant la somme a des trois premiers et la somme à des trois derniers.
Application : a = 26, b = 2106.
205. Former la somme des carrés, la somme des cubes, etc., des termes d'une progression géométrique limitée.
206. a,b,c étant trois nombres en progression géométrique on a la relation :
a«ôv« (4 + ~ + -\ =.a> + 6> + c* \a* b9 o%J
(TODHUNTER).
207. a, b, c, d étant quatre nombres en progression géométrique, on a les relations
(«* -f ù* -f <?•} (&■ + cH-rf*)= (a* + àc + cd)* ; (a — d)* = (* — c)* + (c - «)* + (d - 6)»
(TODHUNTER).
