Calculer la somme

209. Montrer que, si S , S , S3n sont, respectivement, les sommes des n premiers

termes, des 27* premiers termes et des 3;t premiers termes d'une même progression géométrique, on a :

n\ S» 2a) \ in nj

(Smith).

210. Dans une progression géométrique de n termes, on donne la somme S des l> premiers termes et la somme S' des {n-p) derniers. Trouver la raison et le premier terme.

211. Dans un carré dont le côté est a, on joint les milieux des quatre côtés et on forme un autre carré dont on joint encore les milieux pour former un autre carré, et ainsi de suite ; trouver la limite de la somme des aires de tous les carrés ainsi formés.

212. Dans un triangle équilatéral, de côté a, on joint les milieux des côtés et on forme un nouveau triangle équilatéral dont on joint encore les milieux des côtés, pour former un nouveau triangle, et ainsi de suite. On demande :

1* De trouver la limite de la somme des aires de ces triangles ; •2* De trouver la limite de la somme des aires des cercles inscrits et la limite de la somme des aires des cercles circonscrits à ces triangles.

213. Dans un triangle équilatéral, de côté donné au on inscrit un cercle et Ton désigne son rayon par r,. Dans ce cercle, on inscrit un triangle équilatéral et Ton désigne le côté de ce triangle par au puis par rt le rayon du cercle inscrit à ce second triangle. On continue ainsi indéfiniment à tracer des triangles équilatéraux et leurs cercles inscrits. Calculer la limite vers laquelle tend :

l* La somme r, -+• rt + 's 4- • . • des rayons des cercles inscrits ; 2# La somme ax -f a% -f «3 + • • • des côtés des triangles équilatéraux ; S* La somme des surfaces des triangles ; 4* La somme des surfaces des cercles;

5* La somme des volumes engendrés par les triangles tournant autour de Tune de leurs hauteurs.

(École de Physique de Part*.)