Soustraction
Théorème. — Etant donnés deux nombres algébriques, il existe toujours un troisième nombre algébrique qui, ajouté à Vun d'eux, reproduit l'autre, et il n'y en a qu'un.
Soient, en effet, a et b deux nombres algébriques. Il faut démontrer qu'il existe un nombre algébrique x, et un seul, tel que Ton ait
Soit b' le nombre égal et de signe contraire à b. Ajoutons b' aux deux membres de l'égalité précédente, il viendra
ou, en appliquant les théorèmes du n° 8 et remarquant que b + b' = 0,
Le nombre cherché ne peut donc être que a-\-b'. Il est aisé de vérifier d'ailleurs qu'il résout la question proposée ; car on a
La proposition est donc démontrée.
Corollaire. — // n'y a qu'un nombre qui ajouté à un autre le reproduise, c'est zéro.
Car a -f- 0 = a et d'après le théorème précédent il n'y a qu'un nombre satisfaisant à cette condition.
Définition. — On appelle différence entre a ei b fe nombre qu'il faut ajouter à b pour reproduire a. D'après le théorème précédent, nous savons que ce nombre existe et qu'il est unique. L'opération qui consiste à former la différence entre deux nombres est la soustraction (algébrique). Former la différence entre a et b c'est soustraire b de a ou encore retrancher b de a. On représente celle différence par le symbole a — b.
D'après le théorème précédent, on peut énoncer la règle suivante pour former la différence.
Règle. — Pour faire la différence (a — b) on ajoute à & le nombre égal et de signe contraire à b .
Exemples :
•20 ALGEBRE ELEMENTAIRE.
Remarque. — Les nombres {a — b) et (b — a) sont deux nombres égaux et de signes contraires, car
en indiquant par un accent le nombre égal et de signe contraire à un nombre donné. Or, a étant égal et de signe contraire à a' et b' à 6, a -f- *' (c'est-à-dire a — b) est égal et de signe contraire à a' -f- b (c'est-à-dire à b — a).
10. Soinme algébrique. — On appelle somme algébrique une suite d'additions ou de soustractions effectuées avec des nombres algébriques. Ainsi, l'expression
qui indique que de (+ 4) on retranche (-+- 2), qu'on ajoute ( — 1) au résultat, que du nouveau résultat on retranche ( — 12) et enfin que de ce dernier résultat on retranche (-f- 5), est une somme algébrique.
Toute somme algébrique est identique à une somme, proprement dite, de nombres algébriques. En effet, d'après la définition même de la soustraction, retrancher un nombre c'est ajouter le nombre égal et de signe contraire, on a donc :
en désignant par b', d', e' les nombres respectivement égaux et de signes contraires aux nombres b, d, e.
Ainsi,
c'est donc la somme des nombres + 4, — 2, — 1, + \^ — 5.
Chaque fois que, dans la somme algébrique, un nombre est précédé du signe (-)-), dans la somme, proprement dite, on ajoute ce nombre; chaque fois qu'un nombre est précédé du signe ( — ), dans la somme, proprement dite, on ajoute le nombre égal el de signe contraire. Ainsi, dans l'expression
les symboles — A, + c, — d, — e jouent, respectivement, le môme rôle que b\ c, d\ e' dans la somme a + b' + c + $ + e '» cec* conduit à la convention suivante :
Convention. — a désignant un nombre algébrique, le symbole + & représente aussi ce nombre et le symbole — a représente le nombre égal et de signe contraire à a.
Cette convention peut encore s'énoncer ainsi : deux signes consécutifs équivalent à un signe unique qui est le signe -f- ou le signe — suivant que les deux signes sont les mêmes ou sont contraires. C'est ce qu'on appelle la règle des signes qui se résume dans le tableau suivant :
m^^~ m mm
Définition. — On appelle termes d'une somme algébrique les nombres qui la composent avec les signes qui les précèdent. Ainsi, dans la somme algébrique
les termes sont
D après la convention précédente, ces symboles ont un sens bien défini.
De la convention précédente et de cette définition résulte la proposition suivante :
Toute somme algébrique est la somme (proprement dite) de ses termes. (En prenant comme signification du mot terme celle qui résulte de la définition précédente.) Ainsi :
(+3)-(-l) + (-l)-(-2) est la somme des nombres
c'est-à-dire des nombres
Celte somme algébrique peut donc s'écrire
Il résulte de cette proposition que toutes les propositions relatives à la somme sont applicables à la somme algébrique. Nous pouvons donc énoncer, sans nouvelle démonstration, les propositions suivantes :
Théorème I. — Dans une somme algébrique, on peut intervertir l'ordre des termes sans modifier la valeur de la somme.
Remarque. — Comme, d'après cette convention, les symboles — b, — d, — e, ont une signification, on peut, en intervertissant Tordre des termes, placer le premier un terme précédé du signe — . Ainsi,
a — à-fc — rf — e + f= — b + a — </ — e + c -{- f.
Lorsqu'on amène le premier un terme précédé du signe -f on n'écrit pas ce signe, ce qui est légitime, puisque + a = a, + /* = /*, par convention.
Théorème II. — Dans une somme algébrique, on peut remplacer plusieurs termes par leur somme algébrique effectuée et, réciproquement, on peut remplacer un terme par plusieurs termes dont il est la somme algébrique.
Ainsi, si
— c + d — e =z — /:, on a: a + b — c-f-d — e — f= a + b — À* — f.
Exemple : On a
— (— i) + (— 3) — (+ 3) = — (+ 5); donc :
Remarque. — Étant donnée une somme quelconque de nombres positifs et négatifs on peut toujours la considérer comme une somme
algébrique de nombres tous positifs, car tout nombre négatif est égal et de signe contraire à nn nombre positif.
—3+4—5+6—8+1 peut s'écrire
Théorème III. — Pour ajouter une somme algébrique, il suffit d'ajouter, successivement, chacun de ses termes.
Ce théorème, comme nous l'avons vu (n° 8), est un corollaire du théorème précédent. D'ailleurs, étant vrai pour une somme, proprement dite, il est vrai pour une somme algébrique.
Théorème IV. — Pour retrancher une somme algébrique, il suffit d'ajouter, successivement, chacun de ses termes changés désigne.
Pour démontrer ce théorème il faut d'abord établir la proposition suivante :
Si, dans une somme algébrique, on change les signes de tous les termes, la nouvelle somme algébrique, ainsi obtenue, est égale et de signe contraire à la première.
En effet, d'après la Règle du n°8, pour faire une somme algébrique on fait la somme des nombres positifs, soit P la valeur absolue de cette somme, puis la somme des nombres négatifs, soit N la valeur absolue de cette somme.
Si P > N, la somme algébrique est le nombre + (P — N).
Si P < N, la somme algébrique est le nombre — (N — P) et, si P = N, la somme algébrique est nulle.
Lorsqu'on aura changé les signes de tous les termes, les termes positifs deviendront négatifs et les termes négatifs deviendront positifs. Donc, dans la nouvelle somme algébrique, la somme des termes positifs aura même valeur absolue N que la somme des termes négatifs dans la précédente et la somme des termes négatifs aura même valeur absolue P que la somme des termes positifs dans la précédente. Par suite,
Si P > N, la nouvelle somme algébrique a pour valeur — (P — N).
Si P < N, la nouvelle somme algébrique a pour valeur + (N — P) et, si P = N, la nouvelle somme algébrique est nulle.
Dans les trois cas, la nouvelle somme est égale et de signe contraire à la précédente (car le nombre zéro peut être considéré comme son égal et de signe contraire à lui-même).
Ceci posé, le théorème énoncé en résulte immédiatement. Car, par définition même de la soustraction, retrancher un nombre c'est
ajouter le nombre égal et de signe contraire. Donc, pour retrancher une somme algébrique, il faut ajouter la somme égale et de signe contraire et cette somme est obtenue, comme nous venons de le voir, en changeant les signes de tous les termes de la somme. Ainsi, pour retrancher la somme c — d + e, il faudra ajouter la somme — c -f- d — e. Or, d'après le théorème précédent, pour ajouter une somme on ajoute, successivement, chacun de ses termes. Donc, pour retrancher une somme algébrique il suffit d* ajouter, successivement, tous ses termes changés de signe.
Ainsi, pour retrancher c — d + e il faut ajouter — c + d — e il faut donc ajouter, successivement, — c, -f- d et — e.
(fl — b) — [c — d + e ) ~ (a — b) + (— c + d — e)
= a — b — c-f-rf — e,
Exemples :
(+ 3 — 2 + 5) + (+ lo — 6 — 2) = + 3 — 2 + 54-15 — 6 — 2;
Application. — Les deux théorèmes précédents nous permettent de faire les deux opérations inverses ouvrir une parenthèse ou introduire une parenthèse. Ainsi, par exemple, considérons la différence
elle est égale à la somme algébrique
d'après ce que nous venons de voir. Cette transformation de la première expression dans la seconde est ce qu'on appelle ouvrir une parenthèse. Mais, réciproquement, étant donnée la seconde expression
a -J- b — r+-rf — e, on peut la remplacer par l'expression
(« + *)-('-rf + ')
et cette transformation est ce qu'on appelle introduire des parenthèses. On peut, ainsi, en introduisant ou ouvrant des parenthèses, transformer une expression dans une autre. Ainsi, par exemple, on peut
NOMDRES POSITIFS ET NÉGATIFS. ï5
mettre toute somme algébrique sous forme d'une différence de deux sommes de termes tous positifs.
On a :
a + b — c-f-rf — e = a -\- b -\- d — c — e
11. Théorème I. — La valeur absolue de la somme ou de la différence de deux nombres est inférieure ou au j)lus égale à la somme des valeurs absolues de ces deux nombres et supérieure 9u au moins égale à ta différence des valeurs absolues de ces deux nombres.
En effet, d'après la définition même de l'addition dé deux nombres (n° 6), la valeur absolue de la somme de deux nombres est, ou bien égale à la somme des valeurs absolues de ces deux nombres, ou bien y : - ( égale à la différence de ces valeurs absolues. Dans le premier cas, la valeur absolue de la somme est égale à la somme des valeurs absolues et plus grande que la différence. Dans le second' cas, la valeur " /
absolue de la somme est égale à la différence des valeurs absolues et, par suite, plus petite que leur somme. On a donc toujours :
Le théorème étant vrai pour la somme, est, évidemment, vrai pour la différence.
Théorème II. — La valeur absolue d'une somme algébrique est inférieure ou au plus égale à la somme des valeurs absolues de ses termes.
Soit, en effet, la somme algébrique
a — b -f- c — dj d'après le théorème précédent on a :
De même, si nous considérons a — b -f- c comme la somme de (a — b) et c, on a :
| * - 6 + r | < \n-b\ +c\; et, par suite, à fortiori, à cause de l'inégalité (1) (*),
(l) Nous appliquons ici des propositions connues sur les inégalitf'8 de nombres arithmétiques. Par exemple,
et si D ^ A -f E,
on a D ^ B + C -f K.
En considérant a — b -f- c — d comme la différence entre (a — b + c) et d, on a, d'après le théorème précédent,
\a-b + c-d\ < | a — * + c | + |rf|,
et, par suite, à cause de l'inégalité (2),
Exemple :
Remarque. — La valeur absolue de la somme n'est égale à la somme des valeurs absolues de ses termes que dans le cas particulier où elle est une somme de termes tous de même signe.
Ainsi :
12. Inégalités. — Ëtant donnés deux nombres algébriques inégaux a et b, la différence a — b n'est pas nulle.
1° Si cette différence est positive, a est dit plvs grand que b et on écrit :
2° Si la différence a — b est négative, a est dit plus petit que b et on écrit :
Remarque. — Si a est plus grand que b, inversement b est plus petit que a\ car, (a — b) et (b — a) étant des nombres égaux el de signes contraires (n° 9), si (a — b) est positif {b — a) est négatif.
De même, si a est plus petit que b, b est plus grand que a. Donc les inégalités
b > a et a < b
sont équivalentes, c'est-à-dire que Tune entraîne l'autre.
Problème. — Ranger les nombres algébriques par ordre de grandeur croissante.
Ceci résulte des propositions suivantes :
1° De deux nombres positifs le plus grand est cplui qui a la plus grande valeur absolue.
Car, si a et b sont deux nombres positifs et si j a \ > | b | , la
valeur absolue de (a — A) est \ a \ — | * | et le signe celui de 0, c'est-à-dire le signe -(-.
Ainsi, + 4 > + 3, +5> + ^.
2° De deux nombres négatifs le plus grand est celui qui a la plus petite valevr absolue.
Car, si a et b sont deux nombres négatifs et si \ a \ > | b | , la valeur absolue de [a — b) sera \ a \ — \ b \ et le signe celui de a, c'est-à-dire le signe — . Donc,
Ainsi, — 3 > — 4, — - > — 5.
3Q Tout nombre positif est plus grand que zéro et tout nombre négatif est plus petit que zéro.
Car la différence a — 0 étant égale à a, est du signe de a.
Ainsi, +7>0, +^>0, — 6<0f — |<0.
Il résulte de là que, pour écrire quun nombre est positif ou négatif, il suffit d'écrire qu'il est plus grand ou plus petit que zéro.
Ainsi, a > 0 signifie a positif \
a < 0 signifie a négatif.
4° Tout nombre posit if est plus grand que tout nombre négatif.
Car si a est positif et b négatif, la différence a — b, étant la somme des deux nombres a et — b qui sont tous deux positifs, est positive. Donc a > b.
Ainsi, +3>-15, +>21.
En se servant de ces quatre propositions, il sera facile de ranger des nombres donnés par ordre de grandeur croissante, de façon que tout nombre soit plus petit que ceux écrits à sa droite et plus grand que tous ceux qui sont écrits à sa gauche. Le plus petit de tous les nombres donnés sera le nombre négatif ayant la plus grande valeur absolue. Soient les nombres :
v>8 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE:.
ces nombres, rangés par ordre de grandeur croissante, sont : 12<-G<-l<-l<0< + |< + 4< + 5.
Théorème I. — %Il n'existe aucun nombre algébrique plus grand que tous les autres, et aucun nombre algébrique plus petit que tous les autres.
Pour cela, il suffit de prouver qu'étant donné un nombre algébrique quelconque, il y en a au moins un plus grand et au moins un plus petit. Soit, en effet, a un nombre algébrique, on sait qu'on peut toujours trouver un nombre arithmétique N plus grand que la valeur absolue A du nombre algébrique a. Le nombre algébrique + N est alors, certainement, plus grand que a, et le nombre algébrique — N est certainement plus petit que a.
Remarque. — En arithmétique, il y a un nombre plus petit que tous les autres, c'est zéro. La suite des nombres arithmétiques n'est, par suite, illimitée que dans un sens. En Algèbre, la suite des nombres algébriques est illimitée dans les deux sens. On peut donner, de ce fait, une image géométrique qui le fait mieux comprendre. Prenons un axe x'x (fig. 6), sur lequel le sens positif
*,' 0 A sr
Fig. 6.
est de x' vers a\ de gauche à droite. Soit 0 un point fixe de cet axe ; à tout nombre algébrique a, je puis faire correspondre un point A de Taxe et un seul en prenant le point A, tel que
OA = a.
Lorsque A est à droite de 0, 0 A est positif; lorsqu'il est & gauche
de 0, OA est négatif. Lorsque le nombre a grandit, le point A marche dans le sens positif; lorsqu'au contraire le nombre a diminue, le point A se déplace dans le sens négatif. Or, le point A peut s'éloigner indéfiniment dans les deux sens, par conséquent la
Fig. 7.
suite des nombres est illimitée dans les deux sens. Ainsi, si on ne marque que les points correspondants aux nombres entiers, on obtient {fig. 7) une suite de points illimitée dans les deux sens.
Théorème II. — Étant donnés trois nombres algébriques a, b, c, si a est plus grand que h et h plus grand que c, a est plus grand que c.
En effet, puisque, par hypothèse, a >> b et b > c, c'est que les différences a — b et b — c sont positives.
Leur somme
est positive. Donc, (a — c) étant positif, a est plus grand que r.
Exemple :
+ 4 > 0, 0 > — 3, donc + 4 > — 3.
Ainsi, tout nombre positif étant plus grand que zéro et tout nombre négatif plus petit que zéro, on peut en conclure que tout nombre positif est plus grand que tout nombre négatif.
Théorème III. — Lorsqu'on change les signes des deux membres d'une inégalité, V inégalité change de sens.
Je dis que, si a > A,
on a : — a <. — A,
car, si a — b est positif, — a -f- b = — a — ( — 6), qui est le nombre égal et de signe contraire, est négatif.
Exemples :
+ 4 > - 3, donc : — 4 < + 3.
donc : — 5 < — -•
13. Théorème I. — On peut ajouter ou retrancher aux deux membres d'une inégalité un même nombre.
Il suffit de démontrer la proposition dans le cas où on ajoute; car retrancher un nombre, c'est ajouter le nombre égal et de signe contraire.
Soit, alors a > b ;
je dis que, c étant un nombre algébrique quelconque,
En effet, on a :
ia + c) — (* + c) = a + c — * — '"
= rl ft-|-(c c) = a — b + 0 = a — b.
Or, par hypothèse (a — b) est positif; donc il en est de même de (a -f- c) — (b -f- c) et on a :
Exemples :
donc : +4 — 6 > — 3 — 6 ou — 2 > — 9.
donc : — 3 + 2< — i + 2 ou — 1 < + 1.
Théorème II. — Etant donnés quatre nombres a, b, c, d, si on a les deux inégalités
elles entraînent l'inégalité
En effet, d'après l'hypothèse, (a — b) et (c — d) sont deux nombres positifs, donc leur somme est positive. Or, cette somme s'écrit :
(a — b) + (c — d) = a — b -\- c — d = a -f- c — ft — d
La différence (« -}- c) — (b -{- d) étant positive, on en conclut que
Remarque. — Cette proposition s'énonce encore brièvement ainsi : on peut ajouter membre à membre deux inégalités de même
sens.
Théorème III. — Étant donnés quatre nombres a, b, c, d, si on a les deux inégalités de sens contraires
elles entraînent V inégalité
a — c > b — rf.
En effet, d'après l'hypothèse, les deux différences (a — b) et (d — c) sont positives. Leur somme est donc positive. Or, celte somme s'écrit, en faisant des transformations connues (n° 10),
La différence (a — c) — {b — d) est donc positive ; et par suite, on a :
Remarque. — Cette proposition s'énonce quelquefois, plus brièvement, ainsi : on peut retrancher membre à membre deux inégalités de sens contraires et l'inégalité finale est du sens de la première.
donc, en ajoutant :
+ 4— i> — 2 — C ou -h3> — 8.
De même :
el, en retranchant la seconde de la première :
+ 4 + « > — 2 + i ou + 10 > — i,
en retranchant la première de la seconde :
— 6 — 4 < — 1 + 2 ou — 10 < + 1.
Théorème IV. — On peut ajouter membres à membres un nombre i/uelconque d'inégalités de même sens.
Je dis que si
on a a + c + e + #>A + d + /*+A.
Car, d'après l'hypothèse, les nombres (a — 6), (c — d), (e — /*), (g — h) sont tous positifs. Leur somme est donc aussi positive. Or cette somme s'écrit :
La différence {a + c -f e + g) — {b -f d -f f + h) est donc positive et, par suite, on a
Exemple : On a
-f 7 > — io,
+ 3 > + i, donc, en ajoutant :
ou r U > — «3.
14. Multiplication. — On appelle produit de deux nombres algébriques un troisième nombre ayant pour valeur absolue le produit des valeurs absolues des deux nombres et ayant le signe (+) ou le signe ( — ), suivant que les deux nombres sont de même signe ou de signes contraires. Lorsque l'un des deux nombres est zéro, le produit est zéro.
L'opération qui consiste à former le produit de deux nombres a et b est ce qu'on appelle la multiplication. Multiplier a par b ou b par a, c'est faire le produit de ces deux nombres, a et b sont appelés les facteurs du produit. Pour indiquer le produit de a par é, on écrit (a X b) ou, simplement, (ab). Quand il n'est pas nécessaire d'indiquer expressément que le produit est effectué, on supprime la parenthèse et on écrit a X b ou ab.
Remarque. — Le symbole ab indique le produit de a par b, et le symbole ba indique le produit de b par a. Il résulte de notre définition que ces deux produits sont égaux ; car rien, dans la définition, ne distingue celui des deux facteurs qui est le premier, puisque le produit arithmétique des valeurs absolues ne dépend pas de l'ordre des facteurs. Ainsi, l'on a
ab = ba.
Exemples :
(ox(+î).(-i),
Remarque. — Le signe du produit de deux facteurs s'obtient encore par la règle des signes que nous avons déjà donnée plus haut (n° 10) et qui peut se résumer dans le tableau suivant :
Signes des facteurs ;
Signe du produit :
15. Définition. — Étant donnés plusieurs nombres algébriques a, b, c, d, on désigne par le symbole a x b X c X d, ou encore, plus simplement, par abcd le nombre obtenu en multipliant a par ô, le résultat par c et, enfin, le nouveau résultat par d. Ainsi, en désignant toujours, au moyen d'une parenthèse, une opération effectuée, on a, par définition, les égalités suivantes :
abc = (ab) c et abcd = (abc) d.
Remarque. — Il résulte immédiatement de cette définition que, si run des facteurs du produit de plusieurs facteurs abcd est nul, le produit est nul. Ainsi,
(+4)X(-3)xOX(+7) = (-li)x0x(+7)=0x(+7) = O.
Exemples : On a
donc :
et:
Théorème I. — La valeur absolue d'un produit de plusieurs fadeurs est égale au produit des valeurs absolues de ces facteurs.
Cette proposition est la définition même de la valeur absolue du produit dans le cas de deux facteurs (n° 14). Elle s'étend, immédiatement, au cas de plusieurs facteurs. On a, en effet,
| ab\ = | a | X | b |
Algèbre élémentaire.
U ALGEBRE ELEMEiNTAIRE.
Or, puisque, par définition, abc est le produit de ab par c, on a :
\abc \ — \ab\ X— c | , et, en vertu de l'égalité (1),
[abc | = |a|X|*|X|f| (2).
De même, puisque abcd est le produit de abc par d, on a : | abcd \ = \abc\X\d\ = \a\X\b\X\r\'X\d\,
en tenant compte de l'égalité (2).
Théorème II. — Le signe du. produit de plusieurs facteurs est le signe -f- ou le signe — , suivant que le nombre des facteurs négatifs est pair [ou nul) ou impair.
Soit le produit abcde. Je remarque que, comme
(+l)Xfl = <*,
ce produit peut s'écrire :
(-j- 1) abcde.
Or, par définition, ce produit est obtenu en multipliant ~\- 1 par a, le résultat par 6, puis par e, d et e. Chaque fois qu'on multiplie par un nombre positif, le produit ne change pas de signe, et chaque fois qu'on multiplie par un nombre négatif, le produit change de signe. Donc, le produit aura changé autant de fois de signe qu'il y a de facteurs négatifs. Si le nombre des facteurs négatifs a,6,c,rf,e est pair ou nul, le produit aura changé un nombre pair de fois de signe ou n'aura pas changé de signe; il sera finalement du signe de +1, c'est-à-dire du signe +■ Si le nombre des facteurs a,ô,c,d,e qui sont négatifs est impair, le produit, dans les multiplications succès* sives, aura changé un nombre impair fois de signe; et, par suite, le produit (+ 1) abcde ou abcde sera de signe contraire à -f- 1, c'està-dire du signe — .
Des deux théorèmes précédents, on déduit la règle suivante pour former le produit de plusieurs facteurs.
Règle. — Le produit de plusieurs facteurs est le nombre ayant pour valeur absolue le produit des valeurs absolues des facteurs et le signe -j- ou — , suivant que le nombre des facteurs négatifs est pair (ou nul) ou impair. Si l'un des facteurs du produit est zéro, le produit est zéro.
Exemples :
Théorème III. — Un produit de plusieurs facteurs ne change pas quand on intervertit V ordre des facteurs.
Ce théorème résulte immédiatement de la règle précédente ; car, quel que soit Tordre dans lequel on prend les facteurs, la valeur absolue du produit est le produit des valeurs absolues des facteurs, et ce produit, qui est un produit de nombres arithmétiques, est indépendant de Tordre des facteurs. Quant au signe du produit, il ne dépend pas non plus de Tordre des facteurs, mais seulement du nombre des facteurs négatifs.
Remarque. — Toutes les propriétés du produit de plusieurs facteurs qui découlent du théorème précédent se démontreront comme en arithmétique (') ; on peut donc énoncer, sans démonstration nouvelle, les deux théorèmes suivants :
Théorème IV. — Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut remplacer plusieurs facteurs par leur produit effectué et, réciproquement, on peut remplacer un facteur par plusieurs autres dont il est le produit.
Théorème V. — Pour multiplier un nombre par un produit de
facteurs, il suffit de multiplier successivement par chacun des facteurs.
-16. Division. — Étant donné un nombre algébrique a, autre
que zéro, on appelle inverse de ce nombre, et on le représente par le
symbole -, le nombre ayant pour valeur absolue Tin verse de la valeur
absolue de ce nombre et ayant même signe.
Exemples :
i> 4- 8 Ml 4.
L'inverse de + 2 est + s» l'inverse de — 3 est — -. On a donc, par
définition :
Remarque. f- 1 et — 1 sont les deux seuls nombres qui sonl
égaux à leurs inverses, car 1 est le seul nombre arithmétique égal à son inverse.
(I) Voir dans les Leçons d'arithmétique de M. Tannery, les n#s 78 a 81.
36 ALGÊBKE ÉLÉMENTAIRE.
Théorème I. — Le produit d'un nombre par son inverse est égal
Car la valeur absolue du produit a x - est le produit des valeurs
absolues, qui est 1, et, a et - étant de même signe, le produit a le
signe +.
Théorème II. — Etant donnés deux nombres algébriques a et b, b étant différent de zéro, il existe toujours un troisième nombre c tel que le produit bc soit égal à a, et un seul.
D'abord, il est facile de voir que, si le nombre c existe, il est unique
et que ce nombre est nécessairement égal à a x r. En effet, si le
nombre c existe, on a :
cb = a,
par suite,
{cb) X j = a X £,
ou
x(^) = c(+l) = c = aX£.
Le seul nombre qui puisse répondre à la question est donc a x y.
D'ailleurs, il est facile de vérifier que ce nombre y répond ; car on a :
faXTJx4 = flX^Xi = axfjXM = aX(+l) = fl.
Corollaire I. — // n'existe qu'un seul nombre dont le produit par a soit égal à a ; c'est + 1 .
Corollaire II. — // existe un nombre et un seul dont le produit par a est le nombre égal et de signe contraire — a, c'est — 1.
Définition. — Étant donnés deux nombres a et b, le premier a appelé dividende et le second b, différent de zéro, appelé diviseur, on appelle quotient du dividende a par le diviseur b le nombre c dont le produit par le diviseur b est égal au dividende a. • Le théorème précédent nous apprend que le nombre c existe, qu'il est unique et qu'on l'obtient en multipliant le dividende par l'inverse
du diviseur. On représente le quotient de a par b par la notation -.
On a donc, par définition,
b = ab'
Le symbole 7- est ce qu'on appelle une fraction algébrique, a (le
dividende) est appelé le numérateur de la fraction, et b (le diviseur) est appelé le dénominateur de la fraction.
jqH|-<-«x(+{) — |;
rj73\ = (" 2) x (+ 3) = ~ r
Remarque. — Puisque le quotient de a par b s'obtient en multipliant a par l'inverse de 6, la valeur absolue du quotient est le produit de la valeur absolue de a par l'inverse de la valeur absolue de b\ ou, en d'autres termes, c'est le quotient des valeurs absolues de a et b. Le signe s'obtient en observant la règle des signes dans
le produit de a par 7 et , comme j est de même signe que b, le
signe se déduit des signes de a et b par la règle des signes (nw 10 et 14). On peut conclure de là la règle suivante pour former le quotient :
Règle. — Le quotient de deux nombres a pour valeur absolue le quotient des valeurs absolues de ces deux nombres et pour signe le signe -f- ou le signe — , suivant que les deux nombres sont de même signe ou de signes contraires.
En d'autres termes, le signe du quotient se déduit des signes du numérateur et du dénominateur par la règle des signes.
Exemples :
38 ALGÈRRE ÉLÉMENTAIRE.
Remarque. — Nous n'avons défini le quotient de deux nombres que dans le cas où le dénominateur est différent de zéro, il est aisé de se rendre compte que cette définition devient caduque dans le cas où le diviseur est zéro. En effet, d'après notre définition, le quotient de a par zéro serait un nombre g tel que le produit de g par 0 soit égal à a. Or, par définition, le produit de tout nombre par 0 est 0 ; par conséquent, si a est différent de zéro, il n'existe aucun nombre qui, multiplié par zéro, donne pour produit a; et si a est égal à zéro, n'importe guel nombre multiplié par zéro donne pour produit a. Donc, quand a est différent de zéro, il y a impossibilité de satisfaire à la définition; et quand a est égal à zéro, il y a indétermination.
L'opération de la division par zéro est impossible ou indéterminée. C'est une opération que nous ne ferons jamais. Il est entendu dorénavant que chaque fois que nous écrirons une fraction 7, b sera différent de zéro. Une fraction de dénominateur zéro o
n'a pas de sens.
17. Jusqu'ici nous avons considéré les deux classes de nombres algébriques, nombres positifs et négatifs, comme distinctes des nombres arithmétiques. Il est facile, maintenant que nous avons complètement défini le calcul des nombres algébriques, de faire disparaître cette distinction.
Si on passe en revue toutes les règles de calcul des nombres algébriques, on constatera ce fait important, c'est que :
Toute opération effectuée uniguement sur des nombres positifs donne comme résultat un nombre positif dont la valeur absolue est le nombre arithmétique obtenu en faisant la même opération arithmétigue sur les valeurs absolues (pourvu, toutefois, gue cette opération arithmétigue soit possible).
Ainsi :
Nombres algébriques. Nombres arithmétiques.
Nombres algébriques. Nombres arithmétiques.
(+3)X(+2)X(+1) = +(3x2xl);
Nombres algébriquos. Nombres arithmétiques.
Nombres algébriques Nomb. arith.
Le calcul des nombres positifs entre eux est donc identique au calcul des nombres arithmétiques.
Cette identité entre le calcul des nombres positifs et le calcul de leurs valeurs absolues nous conduit nécessairement à la convention suivante, qui simplifie ce qui précède sans introduire de contradiction.
Convention. — Tout nombre positif est égal à sa valeur absolue.
Ainsi, V ensemble des nombres positifs est identique à V ensemble des nombres arithmétiques.
Par convention,
+ 7 = 7, + 5 = 5, 2 __ 2 + ÎÔÔ "~ ÎÔÔ "
Grâce à cette convention, l'ensemble des nombres algébriques nous apparaît comme une généralisation de l'ensemble des nombres arithmétiques, puisque ces derniers sont contenus dans les premiers.
Dorénavant, à moins qu'il y ait nécessité, nous supprimerons toujours le signe + des nombres positifs. Ainsi, dans une somme algébrique, si le premier nombre est un nombre positif, nous supprimerons le signe +; au lieu de
et +15- 1-1 + 4-7,
nous écrirons
et «!— J + 4-7.
De cette nouvelle écriture il résulte que certaines expressions auront à la fois un sens algébrique et un sens arithmétique, mais les deux façons d'envisager l'expression donneront toujours le même résultat; car si l'expression a un sens arithmétique, c'est qu'on peut la considérer comme une expression ne contenant que des opérations (possibles en arithmétique) sur des nombres positifs, opérations qui conduisent aux mêmes résultats que les opérations sur les nombres arithmétiques.
Ainsi, l'expression
est la somme algébrique des deux nombres + 4 et — 3, mais c'est aussi la différence des deux nombres + 4 et + 3, elle est donc identique à la différence arithmétique de 4 et 3. De même, l'expression
peut être considérée comme une expression arithmétique, ou comme
1 1 la somme algébrique de + Ï5, — -, — «» + 4 et — 7. Dans les
deux cas, le résultat de l'expression effectuée est le même : -5-
ou+6-
Au fond, nous ne faisons qu'étendre aux signes qui distinguent les deux classes de nombres une convention faite déjà plus haut(n°10).
-f- a est égal à & et — a est le nombre égal et le signe contraire à a.
Ainsi, 5 est un nombre arithmétique ou positifs + 3 est égal à ce nombre et — 5 est le nombre négatif égal et de signe contraire.
Cette convention nous conduit, en outre, à une conclusion très importante, à savoir que, grâce à elle et à l'introduction des nombres négatifs, toutes les soustractions deviennent possibles. En arithmétique, on ne peut retrancher un nombre d'un autre que si ce nombre n'est pas plus grand que cet autre. Retrancher 5 de 3 est une opération qui n'a pas de sens en arithmétique. L'introduction des nombres négatifs donne un sens à cette opération et on a :
De même, certaines restrictions fort gênantes dans les énoncés de l'arithmétique disparaissent. Ainsi, par exemple, si on considère l'expression
on apprend en arithmétique qu'on peut y intervertir l'ordre des termes, mais à condition que les opérations à effectuer soient possibles (arithmétiquement). On peut écrire cette somme
8+6—3—4+1 ou encore 6 — 4 + 1 + 5 — 3,
mais on n'aurait pas pu Técrire
parce que les opérations indiquées n'ont aucune signification arithmétique puisqu'elles indiquent que, de 5, il faut retrancher 3, ce qui donne 2 ; et que, du résultat 2, il faut retrancher 4 ; ce qui n'est pas possible en arithmétique. Grâce à l'introduction des nombres négatifs et à la convention qui identifie les nombres positifs aux nombres arithmétiques, ces restrictions disparaissent et, comme nous l'avons vu, on peut, dans tous les cas, intervertir Tordre des termes d'une somme algébrique d'une façon quelconque. Ainsi, dans l'exemple précédent, la somme
a un sens et cette somme effectuée est égale à la somme effectuée
18. Fractions. — Les fractions algébriques jouissent des mêmes propriétés et sont soumises aux mêmes règles de calcul que les fractions arithmétiques généralisées. Comme les démonstrations ne reposent que sur les propriétés générales de la multiplication, qui appartiennent, comme nous l'avons vu,' aux nombres algébriques, elles sont identiques à celles de l'arithmétique (*). Nous pourrons donc énoncer ces propositions sans faire de nouvelles démonstrations.
D'abord, tout nombre peut être considéré comme une fraction de dénominateur 1, car on a :
Si dans une fraction le dénominateur est égal au numérateur, la fraction est égale à 1 :
Théorème I. — On peut multiplier ou diviser les deux termes d'une fraction algébrique par un même nombre, autre que zéro, sans changer la valeur de la fraction. Ainsi :
ac Tc~V
(1) Voir Tannery {loe. cit.), n" 207 k îll.
a \cl a
Corollaire. — On peut changer les signes des deux termes d'une fraction sans changer sa valeur. Car changer les signes des deux termes c'est les multiplier par ( — I). Ainsi,
Application I. — Le théorème précédent peut servir à simplifier une fraction algébrique. Ainsi,
d\ô dy-iyîi
iab
abc bc
c kab kb ad adc de '
Application II. — Etant données plusieurs fractions ayant des dénominateurs différents, on peut former des fractions qui leur sont, respectivement, égales et ayant toutes même dénominateur en multipliant les deux termes de chacune d'elles par le produit des dénominateurs des autres. On a :
a abW a' __a'bb" a" __ a"bb' b^bW,] V^WV''1 blî~'WbTr
On réduit ainsi les fractions au même dénominateur.
Théorème II. — Ijt produit de deux fractions est une fraction ayant pour numérateur le produit des numérateurs et pour dénominateur le produit des dénominateurs des deux fractions.
a a' aa b^V" bb''
a a c ac
Théorème III. — Pour diviser un nombre par une f l'action, on te
multiplie par celte fraction renversée : .
c b rb
b' a'~~ ba"
6 c Âr"
19. Puissances. — On appelle puissance mième d'un nombre a, et
on représente par le symbole am, m étant un nombre arithmétique entier, le produit de m nombres égaux à a. Le nombre m, qui indique de combien de facteurs égaux est formé le produit, est ce qu'on appelle l'exposant de la jouissance. Ainsi, par définition,
aa = a* , aaa = a8 ;
a1 s'énonce a puissance deux ou, plus brièvement, a cfoi*j? ; a8 s'énonce a jouissance trois ou a f rois ; d'une manière générale, «m s'énonce « puissance m(!).
(!) Nous ne définissons que les puissances entières des nombres algébriques. Il n'y a pas lien, comme en arithmétique [voir dans les Leçons d'arithmétique de M. Tannery, les n°* 450 à 456 ou l'Appendice III de ce volume], de définir des exposants fractionnaires, car on ne peut pas définir dans tous les cas une racine mfieme d'un nombre algébrique.
Il n'existo aucun nombre positif ou négatif dont la puissance m***»* soit égale à un nombre négatif donné, lorsque m est pair. Car toute puissance paire d'un nombre algébrique est un nombre positif. On ne peut donc pas parler de la racine m'*"»* (m pair) d'un nombre négatif.
On peut remarquer que lorsque m est impair il existe toujours un nombre x tel que
xm = - A A étant an nombre arithmétique. Ce nombro est
Il est facile de voir, d'ailleurs, que c'est le seul. On peut a nno racine d'indice impair (Voir, plus loin, n* 102).
donc dire que tout nombre négatif
44 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
De cette définition résultent, immédiatement, les remarques suivantes :
1° Toute puissance d'un nombre positif est positive ', car un produit de nombres positifs est un nombre positif.
2° Une puissance d'un nombre négatif est positive ou négative suivant que l'exposant est pair ou impair; car un produit de nombres négatifs est positif ou négatif suivant que le nombre des facteurs est pair ou impair (n° 15). Ainsi,
( — l)m = -f- 1 m pair; ( — 1 )m = — 1 m impair.
Exemples :
Les démonstrations des propriétés élémentaires des puissances entières, ne reposant que sur les propriétés de la multiplication, sont identiques aux démonstrations analogues en arithmétique (l).
Nous énoncerons donc sans démonstration les propositions suivantes :
Théorème I. — Pour élever un produit de facteurs à une puissance {entière), il suffit d'élever chacun des facteurs à cette puissance.
[abc) -=. a b c .
Théorème II. — Pour élever une fraction à une puissance, il suffit d'élever chacun des termes de cette fraction à cette puissance.
Théorème III. — Le produit de plusieurs puissances d'un même nombre est une puissance de ce nombre ayant pour exposant la somme des exposants des facteurs.
am a* aq = a",+i'+9 .
Corollaire. — Pour élever une puissance d'un nombre à une autre puissance, il suffit de multiplier l'exposant de cette puissance par le
(!) Voir J. Tannery (loc. cit.), n* 81.
nouvel exposant.
Ainsi,
Pour terminer, nous donnerons la démonstration de la proposition suivante :
Théorème IV. — Le quotient de deux puissances d'un même nombre :
1° Si V exposant du numérateur est plus grand que V exposant du dénominateur, est une puissance de ce nombre ayant pour exposant Vexcès de Vexposant du numérateur sur Vexposant du dénominateur.
2° Si les exposants du 'numérateur et du dénominateur sont égaux, est égal à -f- 1.
3° Si l'exposant du numérateur est plus petit que l'exposant du dénominateur, est l'inverse d'une puissance de ce nombre ayant pour exposant l'excès de l'exposant du dénominateur sur l'exposant du numérateur.
Soit — le quotient de deux puissances de a.
1° Si Ton a m > p, soit m = p + q
alors, a =a =a .a
et on voit que a7 est le quotient de am par ap, donc :
Ml
— =a' = am-' a"
2° Si Ton a m =p, a = a et — - = -f- 1 ,
car -f- 1 (Corollaire I, n° 16) est le seul nombre dont le produit par d* est égal à a*.
3° Si Ton a m<^p, soit m = j) — q ou p = m + ?»
a on a :
mm m a a
a ail
a* am + * amaq aq ap'~m en divisant les deux termes de la fraction par am.
Exemples :
20. Théorème I. — Pour faire le produit d'une somme algébrique par un nombre on multiplie chacun des termes de la somme pqr ce nombre et on fait la somme des résultats obtenus.
Remarquons, d'abord, que, comme toute somme algébrique peut être considérée comme la somme proprement dite de ses termes (n° 10), il nous suffira de démontrer le théorème pour une somme de nombres algébriques.
1° Cas aVune somme de deux nombres.
Je dis que
(b + c) X a = a X {b + c) = ab -)- ac.
Pour cela, nous nous appuierons sur une proposition connue d'arithmétique (!) ; « pour multiplier une somme ou une différence par un nombre, il suffit de faire la somme ou la différence des produits des deux parties par ce nombre ». Soient À, B et C les valeurs absolues de a, b et c.
Supposons, d'abord, b et c de même signe, ce signe est alors aussi celui de (b -f- c) et, par suite, a (b -f- c), ab, ac sont de même signe. Donc a (b + c) et ab -f- ac sont de même signe. 11 reste à prouver qu'ils ont même valeur absolue.
Or, b et c étant de même signe, on a :
l* + c| = IM + |c|=B + C (nMI),
De même :
| ab + ac | = | ab | + | ac | = A X B + A X C. Or, en arithmétique, on a :
Ax(B-fC) = AxB + AxC,
| a {b + c) | = | ab -f ac \ .
(\) Voir, à ce sujet, dons les excellentes Leçon* d arithmétique do M. Tsnnerj, les n«» 74, 76 et 109.
Supposons, en second lieu, b et c de signes contraires, et supposons, par exemple, B > C. Alors, h -f c est du signe de b et a (b -f c) est du signe de ab. D'ailleurs, on aura, aussi, AxB>AxCe( nb -[- ac sera du signe de ab. Donc a (b -f- c) et ab + ac sont de même signe. Ils ont aussi môme valeur absolue, car
et \ ab + ac \ — \ ab \ — \ ac \ = A X B — A X C.
Comme on a :
AX(B — C) = AxB — AxC, on a donc :
\a{b + e)\ = \ab + ac\.
Le théorème est vrai dans le cas où la somme a deux termes. 2° Cas d'une somme quelconque.
Soit à multiplier la somme
(a + b -\- c + d) par m on a, d'après ce qui précède,
(a + b) m = am -f- bm (1) ;
or, si on considère la somme a + b -f- c comme la somme do (a -f- b) et de r, on a :
(a + b + r) m = (a -f- 6) m -f- cm
et, à cause de l'égalité (1),
(a -f b + r) m = am + 4m -f cm (2).
De même, en considérant la somme a -f- b + c -f rf comme la somme des deux nombres (a + 6 -f r) et rf, on a, d'après ce qui précède,
(a + b + c -f- rf) m = (a -f b -f r) m + dm et, en tenant compte de l'égalité (2),
(a -f b -f c + rf) m = am -f am -f- cm -f- rfm. Le théorème est donc général.
Exemples :
Corollaire. — Pour diviser une somme par un nombre (autre que zéro), il suffit de diviser chacun des termes de la somme parce nombre. Car diviser par un nombre c'est multiplier par son inverse. Ainsi,
= fl + Hf - = fl r b r c —
Application I. — Pour faire la somme de plusieurs fractions algébriques, on les réduit au même dénominateur et on forme la fraction ayant pour numérateur la somme des numérateurs et pour dénominateur le dénominateur commun.
Soient
abc *
dy d d
trois fractions ayant môme dénominateur d, ce qu'on peut toujours supposer (n° 18). D'après le corollaire précédent, on a l'égalité
Exemples :
Application II. — Lorsque, dans une somme, il y a plusieurs termes qui sont des produits ayant un facteur commun, on peut les remplacer par un seul terme de même forme : c'est ce qu'on appelle mettre en fadeur. Par exemple, si dans la somme figurent les termes am, bm, cm, on peut écrire :
am -f- bm -f- cm = (a -f- b -|- c)m :
on a mis m en facteur. Si une même lettre est répétée plusieurs fois on peut réunir tous les termes égaux à cette lettre. Ainsi, la somme
peul s'écrire
ou encore :
flXl+flXl+flXl+^Xl+iXi+c
et enfin, en mettant a et 6 en facteur,
ce qui s'écrit :
Plus généralement, considérons la somme
3a __ 26 + 6a + 86 — la — 86 ;
on peut l'écrire :
En d'autres termes, on fait la somme algébrique des termes de même forme. C'est ce qu'on appelle réduire les termes semblables (').
Théorème II. — Pour faire le produit de deux sommes algébriques, il suffit de faire la somme des produits que Von obtient en multipliant, de toutes les manières possibles, un tenue de l'une des sommes par un terme de l'autre.
Ce théorème n'est autre chose qu'une double application du théorème précédent. Soit, en effet, à faire le produit des deux sommes (a -f 6 + c) et (d + e) ; on a, d'après le théorème précédent, en considérant la somme (d -f- e) effectuée comme un nombre :
Or, d'après le théorème précédent,
a{d + e) = ad -|- ae, b(d + e)~bd + be, c(d -J- e) = cd -f- ce.
Donc,
(a -f- 6 -f- c) (d + *) = ad -f- ae + bd -f be -{- cd + ce;
et, dans le second membre de cette égalité, figure la somme de tous
(I) Noos reviendrons plus tard sur ce sujet & propos de la réduction des polynôme* entiers (Voir le n* 33).
ÀLQKBRB éLlÎMENTAlRE. 4
les produits obtenus en multipliant, successivement, tous les termes
de (rf+ e) par les termes de (a -f- b + c).
[a — 6 + c) (a — d + 6) = aa — ad + a6 — ba + 6d — 66 + ca — cd + c6
= «* — ad + 6d — 6* + ca — cd + c6,
car : a6 — 6a = ab — ab = 0.
(a + 6) (a + 6) = aa + «6 + 6a + 66 = a» + 2a6 + 6*.
(a + 6) (a — 6) = aa — a6 + 6a — 66 = a» — 6*.
(a — 6) (a — 6) = aa — a6 — 6a + 66 = as — 2a6 + 6*.
21. Théorème I. — Lorsque plusieurs fractions sont égales entre elles, la fraction ayant pour numérateur la somme des numérateurs et pour dénominateur la somme des dénominateurs est aussi égale à toutes ces fractions.
Soient
trois fractions égales; soit q leur valeur commune. Par définition du quotient, on a :
a =z bq, a' = b'q, a" = b"q ; donc :
a + a! + a" = bq + b'q + b"q = {b -f- b' + *")?.
Ceci nous prouve que q est le quotient de a + a' -j- a" par 6 -f £'+£", c'est-à-dire que
a + a -}- a ' « fl/ fl" 6 + y + A" ~~ q ~~ 6 "~ 6' ~~ ¥r
Exemples :
Remarque I. — Ce raisonnement suppose essentiellement que b -f V + b" est différent de zéro, c'est-à-dire que la somme des dénominateurs n'est pas égale à zéro. Si ceci avait lieu, l'égalité
prouverait que la somme a -{- a' -f- a" des numérateurs est aussi nulle.
Donc, si plusieurs fractions sont égales et si la somme des dénominateurs est nulle, la somme des numérateurs est aussi nulle.
Remarque II. — Avant de faire la somme des numérateurs et des dénominateurs des fractions, on peut multiplier les deux termes de chacune d'elles par un même nombre, puisque (n° 18) cela ne change pas la valeur de la fraction.
Ainsi, on a :
a a' a" ma -f- pa! + qa"
h I "~ V ~~ V' ~~ mb + pb' + qb"
m, pf q étant trois nombres quelconques dont un au moins est différent de zéro.
En particulier, on peut multiplier les deux termes d'une fraction par — 1, ce qui revient à les changer de signe. Ainsi, au lieu de faire la somme proprement dite des termes, on peut faire une somme algébrique.
Exemples :
— 4 __ —J ZL5= ~ * — (~ 8) -- 2 — 4 + 8 — 2
2 6^(l)i=-2X4f-6-IX3==-8 + 6-f
3 ° (g) -3X4 + 9-JJX3 -12+9-?'
Nous venons d'étendre aux fractions algébriques égales une propriété bien connue des rapports arithmétiques égaux ('). Les
(1) Voir Leçon* d 'arithmétique t par M. Tannory, n° 212.
propriétés ordinaires des proportions s étendent de même aux fractions algébriques égales. Nous énoncerons ces propositions sans démonstration, car les démonstrations sont identiques à celles qu'on fait en arithmétique (1).
Étant données deux fractions égales
cette égalité est ce qu'on appelle une proportion oh a et d sont les extrêmes et c et b les moyens.
1° Le produit des moyens est égal au produit des extrêmes :
ad = bc.
2° On peut intervertir V ordre des moyens, ainsi que l'ordre des extrêmes :
cl, par suite,
3° On peut ajouter ou retrancher les numérateurs aux dénominateurs ou les dénominateurs aux numérateurs :
par exemple,
22. Théorème I. — Lorsqu'on multiplie les deux membres d'une inégalité par un même nombre, 1° -Si ce nombre est positif, l'inégalité subsiste; 2° Si ce nombre est négatif, l'inégalité change de sens. Soit, en effet, l'inégalité
Ceci veut dire que la différence [a — b) est positive.
(i) Voir Tanncry {loc. cit.), nM 213 à *20.
Soit c un troisième nombre, le produit
(a — b)c =ac — bc
sera positif ou négatif suivant que c sera lui-même positif ou négatif. Donc :
si c > 0, on a ac — Jc>0 et ac > bc ;
si c < 0, on a ac — Ac < 0 et ac < bc.
(Il est clair que si c = 0, en multipliant par c, les deux membres deviennent égaux et égaux h zéro).
Corollaire. — Lorsqu'on divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre, V inégalité ne change pas de sens ou change de sens suivant que ce nombre est positif ou négatif.
Car diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse, qui est de même signe que lui.
exemples : On a :
multiplions par + 3 multiplions par — 3 divisons par + 2 :
divisons par — 2 :
Théorème II. — Etant données deux inégalités de même sens, si le
premier membre de l'une et le second membre de l'autre sont de même
signe et si on les multiplie membre à membre :
1° Si le signe commun est le signe +, on obtient une inégalité de même sens;
2° Si le signe commun est le signe — , on obtient une inégalité de sens contraire.
Soient a > 6,
deux inégalités de même sens et supposons a et d de même signe. 1° Si a et d sont positifs, on a :
ac > ad et ad > érf,
en multipliant les deux membres de la seconde inégalité par a, et ceux de la première par d. De là on tire
ac > bd.
2° Si a et d sont négatifs, les mêmes multiplications renversent les sens des inégalités (TA. /) et on a :
ac <C ad,
ad < bd,
d'où ac < bd.
Corollaire. — Lorsque les deux membres d'une inégalité sont de même signe :
1° Si le signe commun est le signe (-f-)i on obtient, en élevant les deux membres au carré, une inégalité de même sens;
2° Si le signe commun est le signe ( — ), on obtient, en élevant les deux membres au carré, une inégalité de sens contraire.
Car élever au carré les deux membres de l'inégalité
c'est faire le produit, membre à membre, des deux inégalités
et, alors, il suffit d'appliquer le théorème précédent.
Exemples :
5 > 4- 2; donc 20 > — 6.
De même,
et, en multipliant membre à membre et renversant le sens :
Remarque. — Il faut remarquer qu'il n'y a que dans les cas du théorème précédent qu'on peut dire d'avance le sens de l'inégalité obtenue en multipliant deux inégalités de même sens membre à membre. Dans les cas où le premier membre de chacune des inégalités est de signe contraire au second membre de l'autre, on ne peut rien affirmer, a priori.
Soit, par exemple,
on a, en multipliant :
Soit encore :
le produit membre à membre donne :
Enfin, soit :
le produit membre à membre donne :
Ainsi, tous les cas possibles pourront se présenter. Les produits membres à membres sont dans le même sens d'inégalité, en sens contraires ou égaux, suivant les cas. Théorème IU — Si on a l'inégalité
a>b; 1° Si &etb sont de même signe, on a :
2° Si a et b sont de signes contraires, on a :
En effet, 1° Si a et b sont de m£me signe, le produit ab est positif et, de l'inégalité
on conclut — i > -i
ab ab
r>6 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
2° Si a et b sont de signes contraires, le produit ab est négatif, et on a, en divisant l'inégalité
parfl*' 5ï<5
1 1 il
