CHAPITRE III
134. La définition du logarithme d'un nombre repose sur une proposition fondamentale que nous démontrerons d'abord :
Théorème. — a étant un nombre positif \ Va a pour limite 1 Jorsqur n croit indéfiniment.
Supposons d'abord a plus grand que 1, \la sera, alors, toujours
plus grand que 1 . Pour prouver que V« a pour limite 1 , quand n croît indéfiniment, il faudra montrer qu'on peut déterminer n de façon que Ton ait :
e étant un nombre positif donné à l'avance. On doit donc avoir
ou " < (l + 6)"-
Or (n° 133, Lemme}, on sait que
Si donc on choisit n de façon que l'on ait :
a — 1 ou n > ,
on aura, a fortiori,
ou
a — 1 À tout nombre positif c correspond donc le nombre tel que,
pour toutes les valeurs de l'indice n supérieures à ce nombre
on ait
yô - 1< c
\ra a donc pour limite 1, quand n croît sans limite.
Lorsque a est plus petit que 1, son inverse - est plus grand que 1.
Or, on a :
ni l
Va =
et, d'après ce que nous venons de voir, l/I a pour limite 1, quand n
1 , croit indéfiniment, donc \ja a une limite qui est r = 1.
Remarque. — Comme, d'après la définition des exposants fractionnaires (!),
ya = a
on peut dire que aH a pour limite 1, quand n croit indéfiniment ou
quand - tend vers zéro.
135. Soit a un nombre positif que nous appellerons base du système de logarithmes et soit A un nombre positif quelconque. S'il existe un nombre rationnel, positif ou négatif, x, tel que Ton ait
nous dirons que x est le logarithme de A, dans le système de base a, et nous écrirons
x = loga A.
Il est bon de remarquer, de suite, que s'il existe un nombre or, répondant à la question, il n'y en a qu'un, car l'égalité
a = a ne peut avoir lieu que si x = x'.
- (I) La définition et les propriétés essentielles des exposants fractionnaires Tonnent l'objet des nM 450 a 456 des Leçons d'arithmétique de M. Tannery. Ces numéros se trouvent reproduits, intégralement, à la fin du volume, dans Y Appendice III.
I^e lecteur, pour suivre, plus aisément, les développements qui vont suivre, fera bien de relire l'Appendice III et les nM 19 et U de ce volume.
Comme, par définition,
a0 = t, le logarithme de 1 est toujours 0, quel que soit a.
Exemples. — D'après cette définition, on a :
logrt a» = 2 ;
,0B.f Î7=l = ^ga *= — |.
Étant donné un nombre quelconque positif A, il n'existera pas toujours un nombre rationnel x vérifiant l'égalité
la définition précédente ne définit donc que les logarithmes d'une catégorie restreinte de nombres. Pour étendre cette définition à tous les nombres, nous montrerons, qu'étant donné un nombre quelconque A, on peut toujours trouver un nombre rationnel x
(positif ou négatif) tel que a soit une valeur aussi approchée qu'on le voudra de A. Nous substituerons, alors, au nombre A, sa valeur
approchée aT, qui a un logarithme, et c'est le logarithme x de cette valeur approchée que nous appellerons le logarithme de A. Cette substitution d'une valeur approchée au nombre lui-même est parfaitement légitime. Car, comme nous le montrerons plus loin, les logarithmes ne servent que pour efFectuer plus rapidement des calculs numériques, et on sait que, dans un calcul numérique, on peut, toujours, remplacer les nombres sur lesquels on opère par des valeurs approchées, pourvu que les approximations soient suffisamment grandes.
Il nous reste à prouver ce que nous avons avancé. Supposons la base a du système plus grande que 1, et soit, d'abord, A un nombre plus grand que 1. Soit n un nombre entier et considérons la progression géométrique indéfinie
de raison an. Puisque a est plus grand que 1, la raison a» de la progression est aussi plus grande que 1 et la progression est crois-
santé. Comme, dans une progression géométrique croissante, les termes croissent au delà de toute limite, il existera toujours, dans cette progression, des termes plus grands que A. Soient, alors,
a » et a n deux termes consécutifs de la progression qui comprennent A :
a » est une valeur approchée par défaut de A et, pour démontrer
notre proposition, il suffit de montrer qu'on peut choisir « assez
grand pour que la différence
soit plus petite qu'un nombre positif quelconque, donné à l'avance, s. Or, comme on a, évidemment,
il suffit de prouver qu'on peut prendre n assez grand pour que
On a :
a » — an = a» I a» — 1 |
et, comme a» est plus petit que A, on a :
an — an < \ |^» — \ | (2j,
Or, d'après le théorème précédent, on peut choisir m assez grand pour que
on aura, alors,
et, a fortiori, à cause des inégalités (1) et (2),
On peut remarquer, d'ailleurs, que Ton a, aussi,
tt » — A ■< t ;
/# » est une valeur approchée par excès, à moins de £ près.
Supposons, maintenant, A positif et plus petit que 1. L'inverse -~
de A sera un nombre plus grand que 1. D'après ce qui précède, ou
1 1 pourra trouver une valeur approchée a» de — , par excès, telle que
on aura, alors,
Or, puisque,
on a, a fortiori,
Ce qui montre qu'on peut trouver une valeur approchée par défaut
de A, a n , aussi approchée qu'on le voudra.
Nous avons démontré la proposition en supposant a plus grand que 1. On ferait une démonstration analogue dans le cas où a est plus petit que 1. Mais, dans la pratique, on ne se sert que des logarithmes dont la base est plus grande que 1.
De tout ce qui précède nous pouvons donc conclure la définition générale suivante :
On appelle logarithme d'un nombre, dans le système de base a, l'exposant de la puissance à laquelle il faut élever la base a pour reproduire ce nombre.
Avec cette convention, qu'au besoin, on remplace le nombre par une valeur approchée telle qu'il existe un nombre entier ou fractionnaire (positif ou négatif) répondant à l'énoncé.
Dorénavant, nous supposerons toujours que la substitution de la valeur approchée au nombre a été faite et, par suite, nous ne par-
m ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
lerons que de nombres A tels qu'il existe un nombre rationnel .r vérifiant l'égalité
136. Des définitions précédentes il résulte, immédiatement, que, lorsque la base du système est plus grande que 1, les logarithmes des nombres plus grands quel sont positifs et que les logarithmes des nombres positifs plus petits que 1 sont négatifs. 11 est, d'ailleurs, évident que tout nombre x rationnel, positif ou négatif peut être considéré comme le logarithme d'un certain nombre
positif. Ce nombre est a et c'est le seul dont le logarithme est x. Il est, maintenant, facile de démontrer la proposition suivante : Pour connaître les logarithmes de tous les nombres, il suffit d*
connaître les logarithmes des nombres compris entre 1 et la ba$e a.
En effet, soit, d'abord, un nombre A plus grand que a. Soit cf la plus grande puissance entière, positive, de a contenue dans A, on pourra poser :
k = ap b,
b étant un pombre plus petit que a et plus grand que 1. Soit r le logarithme de b. On aura :
b = a et, par suite,
A = cf a = a1*1 .
Le logarithme de A est donc p -{- r. Ce logarithme ne diffère de celui de b que par un* nombre entier positif. Si donc on connaît le logarithme de b, on aura, immédiatement, celui de A en lui ajoutant le nombre entier p, facile à déterminer.
Prenons, en second lieu, un nombre A positif plus petit que 1, —
sera plus grand que 1. Soit aq la puissance positive entière de n
immédiatement supérieure à —, on aura :
b étant un nombre compris entre 1 et a. r désignant encore le logarithme de b, on aura :
Le logarithme de A est donc — q -{- r et ce logarithme ne diffère de celui de b que par un nombre entier négatif. Il suffit donc de connaître r pour avoir immédiatement le logarithme de À.
En résumé, on voit que le logarithme d'un nombre quelconque peut être écrit sous la forme
± c 4- wi,
c étant un nombre entier ou nul et m le logarithme d'un nombre compris entre 1 et a. Or, le logarithme d'un nombre compris entre 1 et a est évidemment compris entre 0 et 1, m est donc un nombre positif plus petit que 1.
± c est ce qu'on appelle la caractéristique du logarithme et m sa mantisse.
Comme on ne peut, évidemment, que d'une seule manière mettre le logarithme d'un nombre sous la forme zt c + m, c étant entier et m un nombre positif plus petit que 1, on en conclut que, dès qu'on a mis un logarithme sous la forme d'une somme algébrique d'un nombre entier, positif ou négatif, et d'un nombre positif plus petit que 1, le nombre entier est la caractéristique et Tautre nombre est la mantisse du logarithme.
Un nombre compris entre 1 et a a pour caractéristique 0; un nombre plus grand que a a une caractéristique positive et un nombre plus petit que 1 a une caractéristique négative.
Des définitions précédentes il résulte que :
1° La caractéristique du logarithme d'un nombre plus grand que 1 est l'exposant de la plus haute puissance entière de la base qui est contenue dans ce nombre.
2° La caractéristique du logarithme d'un nombre plus petit que 1 est l'exposant de la puissance entière, négative, de la base immédiatement inférieure à ce nombre.
3° La mantisse du logarithme d'un nombre est le logarithme du nombre , compris entre l'unité et la base, dont le logarithme ne diffère du logarithme du nombre donné que par un entier positif ou négatif.
137. Les propriétés principales des logarithmes découlent, immédiatement, de leur définition et des propriétés des puissances (Voir n°* 19 et 27, ainsi que Y Appendice III). Voici celles qui nous seront utiles :
Propriété I. — Dans tout système de logarithmes, le logarithme de 1 est 0 et le logarithme de la base est 1.
Propriété II. — Les nombres plus grands que 1 ont des logarithmes positifs et les nombres positifs plus petits que 1 ont des logarithmes
426 ALGEBRE ELEMENTAIRE.
négatifs (en supposant, comme toujours, la base plus grande que I) (').
Propriété III. — Le logarithme d'un produit de plusieurs fadeurs est la somme algébrique des logarithmes des facteurs.
Soient A, B, C trois nombres et a, p, y leurs logarithmes, dans le système de base a :
a = logflA, (5 ^ logaB, y =■ logaC.
Ceci veut dire, par définition des logarithmes, que Ton a (avec autant d'approximation qu'on l'a voulu)
On a donc (n° 27, Th. 11)
ABC — a* a> aT — «*
égalité qui prouve que
'a + B + T=logrt(ABC).
Donc :
log^ABC) r= logaA + iog(tB + logrtC.
Propriété IV. — Le logarithme d'un quotient est égal à l'excès du logarithme du numérateur sur le logarithme du dénominateur.
Soient A et B deux nombres (positifs), a et (3 leurs logarithmes, dans le système de base a :
a = logaA, 8 = logB.
Par définition des logarithmes, on a :
A = a*, B = //9 et, par suite,
(Voir n° 27, Th.. 111). De cette égalité on conclut que
:log"(ë>
(1) Il faut remarquer qu'il n'y a que les nombres positifs qui ont des logarithmes. Nous ne définissons pas les logarithmes de nombres négatifs.
puisque a — $ est l'exposant de la puissance de a qui est égale à — .
Donc : log„ (l\ - log, A — logflB.
Corollaire. — Le logarithme de l'inverse d'un nombre est égal nu logarithme de ce nombre, changé de signe. Car, puisque
logj-0,
loga 1 — logrtA —- — log, A.
Propriété V. — Le logarithme d'une puissance d'un nombre est égal au produit du logarithme du nombre par l'exposant de la puissance.
Soit A une puissance du nombre A et a le logarithme de A, dans le svstème de base a. On a :
A = </* et, par suite,
Or, on a, toujours, que A: soit entier, fractionnaire, positif ou négatif,
donc :
égalité qui prouve que
ou que
loga(A*)--A-.logflA.
En particulier, si k — - , on a la proposition suivante :
logJVÂ) = Jlog(,A.
Le logarithme de la racine n,'M'* d'un nombre est égal au quotient du logarithme de ce nombre par V indice n de la racine. Application. — De deux nombres différents le plus grand est celui
428 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
qui a le plus grand logarithme (lorsque la base est plus grande que 1). Car, si
on a
donc (Propriété II) :
ou (Propriété IV)
logA-logB>0, log A > log B.
138. Les propriétés, que nous venons d'établir, mettent en évidence la grande utilité des logarithmes dans les calculs pratiques. Les Propriétés III et IV ramènent la multiplication et la division k l'addition et à la soustraction; la Propriété Y ramène l'élévation aux puissances et l'extraction des racines à la multiplication et à la division. Ainsi, si Ton veut calculer le produit de plusieurs nombres, on calculera, d'abord, les logarithmes de ces nombres; on fera la somme algébrique de ces logarithmes et le nombre qui a pour logarithme celte somme est le produit cherché.
Pour que ce procédé de calcul soit plus simple que le procédé arithmétique, il faut, évidemment, qu'on ait un moyen de calculer, très rapidement, le logarithme d'un nombre. On a construit, à cet effet, des tables, dont nous expliquerons la disposition et l'usage plus loin, dans lesquelles on trouve tes mantisses des logarithmes de tous les nombres.
L'invention des logarithmes est due k Jean Néper, baron écossais, qui publia cette découverte au commencement du dix-septième siècle (!).
On choisit, souvent, comme base du système de logarithmes un nombre irrationnel qui joue un grand rôle dans l'analyse mathématique et qu'on désigne, d'ordinaire, sous le nom de nombre e (2). Les logarithmes de base e sont appelés logarithmes naturels ou logarithmes hyperboliques ou, mieux, logarithmes Népériens. On emploie pour les désigner le symbole L au lieu de log. Ces
(1) J. Néper. — Zte mirifici logarithmorum canon i g constmetione. (S) La représentation décimale du nombre e est :
logarithmes ont un très grand intérêt en mathématiques et ce sont ceux, qu'au point de vue théorique, il est préférable d'employer.
Dans les calculs pratiques, on emploie les logarithmes dits logarithmes vulgaires ou logarithmes décimaux, à base 10, qui ont été imaginés par Briggs ('). Ce sont, comme nous allons le montrer, les logarithmes qui se prêtent le mieux aux calculs pratiques, parce que 10 est la base de notre système de numération. On désigne les logarithmes décimaux par le symbole log, sans indice.
On pourrait se proposer de calculer les logarithmes népériens connaissant les logarithmes décimaux ou réciproquement. Ceci revient à traiter le problème général du changement de base :
Problème. Connaissant les logarithmes des nombres dans vn système de base a, calculer les logarithmes de ces nombres dans un nouveau système de base b.
Soit x le logarithme inconnu du nombre A dans le système de base 6. On a, par définition,
Prenons les logarithmes des deux membres de cette égal i lé, dans le système de base a, il vient (Propriété V) :
x loga 6 = logfl A, d'où x = j^. logft A,
,0g*A = ïog76' l0g«A (1)*
De là on conclut que :
Von obtient les nouveaux logarithmes en multipliant les anciens logarithmes par un nombre fixe, appelé module de la transformation, et qui est l'inverse du logarithme de la nouvelle base dans F ancien système.
Remarquons que, si, dans l'égalité (1), on fait A = a, on obtient, en observant que
Cette relation montre que le module de la transformation est aussi le logarithme de ^ancienne base dans le nouveau système.
Ainsi, pour calculer les logarithmes népériens, il suffit de multiplier les logarithmes vulgaires par l'inverse de log e ou par L10.
On appelle, en général, module, d'un système de logarithmes, le logarithme
(1) Briggs était contemporain de Néper et, le premier, publia une table contenant trente chiliadés de logarithmes à quatorze décimales.
népérien de la base. Les logarithmes népériens sont donc les logarithmes de module égal câ 1. Le logarithme népérien d'un nombre se déduit du logarithme de ce nombre, dans un système quelconque, en multipliant re logarithme par le module du système.
Le module des logarithmes décimaux est :
139. Logarithmes décimaux. — Les logarithmes décimaux, à caractéristiques positives, ne présentent aucune difficulté d'écriture. Ainsi, si la caractéristique du logarithme est + 3 et sa mantisse (avec 7 décimales) 0,2013221 le logarithme est :
Il n'en est plus de même pour les logarithmes à caractéristiques négatives. Pour de tels logarithmes, il faudrait faire une somme algébrique. Ainsi, si la caractéristique est — 1 et la mantisse 0,7283015, le logarithme est :
Pratiquement, on n'effectue jamais cette soustraction et on a trouvé plus commode, pour les calculs, de laisser le logarithme sous la forme d'une somme algébrique non effectuée. On emploie, cependant, une notation abrégée et on écrit :
On écrit donc un logarithme, à caractéristique négative, en remplaçant, dans la mantisse, le 0 situé à gauche de la virgule par la valeur absolu*' de la caractéristique qu'on surmonte d'un trait horizontal pour indiquer quelle est négative (!).
Théorème I. — La caractéristique du logarithme décimal d'un nombre plus grand que l'unité est égale au nombre des chiffres de sa partie entière, diminué d'une unité.
Car, si la partie entière du nombre a p chiffres, le nombre est compris entre 10'' et 10'"~\ p — 1 est donc l'exposant de la plus haute
(I) Dans certaines tables de logarithmes (anciennes), pour éviter d'écrire des caractéristiques négatives, on augmentait toutes les caractéristiques négatives de 10 unités. Ainsi, dans les anciennes tables de Callet, on trouve, au lieu de
Ceci, bien entendu, ne fie faisait que dam* des cas où il ne pouvait y avoir aucune ambiguïté.
puissance entière de la base 10 contenue dans ce nombre, c'est donc (n° 136) la caractéristique du logarithme.
Ainsi, le nombre 216,307 a pour caractéristique 2.
Théorème IL — La caractéristique du logarithme décimal d'un nombre plus petit que l'unité contient autant d'unités négatives quil y a de zéros à gauche du premier chiffre significatifs dans ce nombre (y compris le zéro qui est à gauche de la virgule).
Remarquons, en effet, que, par exemple,
0,0083701 est compris entre
c'est-à-dire entre
0,01 et 0,001,
10~* et 10"1.
D'une manière générale, si le nombre (plus petit que un) a p zéros à la gauche du premier chiffre significatif, il est compris entre
ÎO"'*"1' et ÎO"*,
10~y'est donc la puissance négative de la base, immédiatement inférieure au nombre; — p est donc (n° 136) la caractéristique du logarithme.
Ainsi, par exemple, le nombre
0,57001 a pour caractéristique — i ; et ]e nombre
0,000043 a pour caractéristique — 5.
Théorème III. — Lorsque, dans un nombre décimal, on recule la virgule d'un certain nombre de rangs, le logarithme décimal consei've la même mantisse et la caractéristique augmente ou diminue d'un nombre d'unités égal au nombre de rangs dont on a reculé la virgule vers la droite ou vers la gauche.
Reculer la virgule de p rangs vers la gauche, c'est diviser le nombre
par 10'' ou le multiplier par 10""*. Or, on a :
log (HT* XÀ)r: log 10"* + log A ou
log (10"* X A) = — p + log A.
43* ALGÈURE ÉLÉMENTAIRE.
Cette opération diminue donc le logarithme de p unités. Ceci ne modifie pas la mantisse et diminue la caractéristique de p unités. Si on avait reculé la virgule de p rangs vers la droite on aurait
multiplié le nombre par 10* et, par suite, le logarithme aurait augmenté de p unités.
Remarque. — Les trois théorèmes précédents mettent en évidence un fait fondamental : La mantisse et la caractéristique jouent, dans les logarithmes décimaux, chacun, un rôle spécial. La caractéristique ne dépend que de la place de la virgule et aucunement des chiffres qui composent le nombre. La mantisse est, au contraire, indépendante de la virgule et ne dépend que des chiffres significatifs qui forment le nombre et de leur ordre de succession.
Il suffit de connaître la mantisse du logarithme d'un nombre pour pouvoir écrire le logarithme de ce nombre.
Exemples. — Le logarithme de 50402 a pour mantisse
(avec 7 décimales exactes). On pourra donc écrire facilement les logarithmes des nombres 50,402, 0,050402, 5040200 qui ont la même mantisse et dont les caractéristiques sont fournies par les règles des théorèmes I et II. Ainsi :
log (50,402) = 1,7024478,
log (0,050402) = 2 ,7024478, log (5040200) = 6,7024478.
De même, la mantisse du logarithme de 2 est
0,3010300 on a donc
log (200) = 2,3010300, log (0,002) = 3,3010300.
