Cologarithme. — Supposons qu'on veuille calculer le
*• * ab quotient — , on a :
log — = log a + log b — log c.
nh
Pour avoir le logarithme de — il faudrait donc faire la somme
de log a et log b et retrancher, du résultat, log c. On aurait ici à effectuer une soustraction. Pour la commodité des calculs, il est bon
d'éviter toute soustraction dans des calculs logarithmiques. Voici, alors, comment on s'y prend : on écrit
log — == log a + log b + log -.
Si on connaissait log - on n'aurait qu'une seule addition à faire.
On appelle cologarithme d'un nombre le logarithme de l'inverse de ce nombre.
Le cologarithme d'un nombre est égal au logarithme de ce nombre changé de signe (N° 137, Propriété IVy Cor.), mais il faut, encore, le mettre sous la forme ordinaire d'un logarithme, c'est-à-dire sous la forme d'une somme algébrique d'un nombre entier positif ou négatif et d'un nombre positif plus petit que l'unité.
Soit
log N = c + m,
c étant la caractéristique et m la mantisse. On a :
colog N = — c — m.
Or, ceci peut s'écrire :
colog N = — (c + 1) + (i — m).
— (c-f-1) est un nombre entier, positif ou négatif; d'autre part, m étant un nombre positif plus petit que 1,1 — m est également un nombre positif et plus petit que 1. La caractéristique du cologarithme est donc — (c -f- 1) et sa mantisse (1 — m). La mantisse du cologarithme est donc le complément, à 1, de la mantisse du logarithme. Pour former ce complément on peut faire la remarque suivante : Posons, par exemple, la soustraction de 1 moins la mantisse 0,7024478 :
On voit que, pour faire cette soustraction, on retranche le dernier chiffre à droite de 10 et tous les chiffres suivants de 9. Si les derniers chiffres à droite sont des zéros, comme dans l'exemple suivant :
ÀLGBBBB ÉLÉMENTAIRE. 28
134 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
c'est le dernier chiffre .significatif (autre que zéro;, à droite, qu'on retranche de 10. On peut donc énoncer la règle suivante pour former le cologarithme d'un nombre :
Règle. — Le cologarithme d'un nombre a pour caractéristique le nombre obtenu en augmentant la caractéristique du logarithme d'uni* unité et en changeant le résultat de signe. La mantisse du cologarit hme s'obtient en prenant les compléments à 9 de tous les chiffres de la mantisse du logarithme, sauf pour le dernier chiffre significatif à di'oite, dont on prend le complément à 10. Si, à droite du dernier chiffre significatif, il y a des zéros, on les recopie.
Exemples. — On a :
log (50,402) = 1, 7024478,
log (0,050402) =-. 2,7024478, log (200) = 2,3010300, log (0,002) = f,3010300;
on en déduit :
colog (50,402) = 2,2975522, colog (0,050402) = 1,2975522,
colog (200) = 3,6989700, colog (0,002) = 2,6989700.
141. Les opérations sur les logarithmes à caractéristiques positives ne présentent aucune particularité, car ces logarithmes sont des nombres décimaux ordinaires. Au contraire, les logarithmes à caractéristiques négatives, étant des sommes algébriques d'un nombre négatif et d'un nombre positif, les calculs de ces logarithmes devront être faits avec certaines précautions que nous allons expliquer.
Addition. — Pour faire la somme de plusieurs logarithmes, il suffit, évidemment, de faire la somme (arithmétique) des mantisses et la somme algébrique des caractéristiques. On peut disposer l'opération comme une addition de nombres décimaux ordinaires aveccette seule précaution que, lorsqu'on additionnera les chiffres de la colonne des caractéristiques, on devra faire une somme algébrique.
Ainsi, on a ;
log (200) = 2,3010300
log (0,07) = 2~,8450980
log (0,12) = 7,0791812
colog (65) = 2,1870866
. /200 X 0,07 X 0,1 2\ ^.oiq-o log ( — ) = 2,41239d8.
Multiplication par un nombre entier. — Lorsqu'on veut calculer le logarithme d'une puissance entière d'un nombre, on est amené à faire le produit du logarithme de ce nombre par un nombre entier.
Pour faire le produit d'un logarithme, à caractéristique négative, par un nombre entier, il faudra faire, évidemment, la somme algébrique des produits de la mantisse et de la caractéristique, par cet entier.
La mantisse du produit est la partie décimale du produit de la mantisse par L'entier; et la caractéristique est la somme algébrique du produit de la caractéristique par l'entier et de la partie entière du produit de la mantisse.
Ainsi, on a :
lojz .0,07i = 2,8450980; donc :
lo^' ^0,07)3 = 3 X log (0,07) = 4,5352940.
La caractéristique ( — 4) est la somme algébrique du produit ( — 6) delà caractéristique par 3 et de la partie entière 2 du produit de la mantisse par 3.
Division par un nombre entier. — Pour calculer le logarithme «le la racine »|V"" d'un nombre, il faut diviser le logarithme de ce nombre par m. Lorsque le logarithme a une caractéristique positive, l'opération se fait sans difficulté. On remarquera seulement qu'on ne devra calculer, dans ce quotient, qu'autant de décimales qu'il y en a dans le logarithme donné. Si on connaît 7 décimales du logarithme, il serait absolument illusoire de calculer le quotient avec # décimales; car, puisqu'on ne connaît pas la huitième décimale du logarithme, la huitième décimale du quotient par n ne sera pas non plus connue.
Ainsi,
log 2 = 0,3010300;
donc :
logVi = l X log 2 = 0,1003433.
Lorsque la caractéristique du logarithme est négative, il faudra procéder de la façon suivante :
438 ALGÈBBE ÉLÉMENTAIRE.
nombres se calculent, facilement, par des extractions de racines
carrées successives. Ainsi, le nombre qui a pour logarithme - est
10* ou v/10 ; celui qui a pour logarithme Test 10'' ou y 10 = V y'10,
et on l'obtient en extrayant la racine carrée du précédent. De même,
en extrayant la racine carrée du nouveau nombre, on a y'10 dont le
logarithme est -; et ainsi de suite (!).
Ces puissances de 10 ainsi calculées, on a une suite
10, r , r , r . ... /' , ... #• cl},
de nombres dont les logarithmes sont, respectivement,
Dans cette suite, chaque nombre est le carré du suivant :
p — i v pi
Cela étant, soit a un nombre compris entre 1 et 10. Ce nombre sera
certainement compris entre deux nombres consécutifs de la suite (1).
Supposons, par exemple, a compris entre r et r^ a contient
donc r3 et ne contient pas ra. On peut poser
b étant un nombre plus grand que 1. D'ailleurs, b est plus petit que r3, car, si b était plus grand que rs, a serait plus grand que (ra\ qui
est égal à i\ ; ce qui n'est pas. b étant plus petit que r3, le plus grand
nombre de la suite (1) contenu dans b sera d'un indice supérieur à 3. Supposons, par exemple, que b soit compris entre rfi et r. On
pourra poser
b — rm X r,
et c sera un nombre plus grand que 1 et plus petit que r, (puisque b
(1) On trouvera dans les tables de Collet (pages 12 et 13) une table des puissance*
fractionnaires de 10, depuis l'exposant -jusqu'à l'exposant l-J et, en regard, K»>
expressions décimales des exposants.
est plus petit que (r\ = r \. De même, on chercliera le plus grand nombre de la suite (1) contenu dans c soit, par exemple, r , on posera
c — ''h x d:> et ainsi de suite. On aura
Les nombres //, c, d, etc., vont en décroissant et tendent vers l'unité. Au bout d'un nombre d'opérations assez grand, on arrivera à un dernier quotient assez voisin de l'unité pour qu'il soit permis de le confondre avec l'unité et, alors, a sera mis, approximativement, sous la forme d'un produit de termes de la série (1) c'est-à-dire de puissances fractionnaires de 10 ('). On aura donc, au bout d'un nombre d'opérations assez grand, trouvé un nombre x, qui est la somme des exposants de 10 dans les divers facteurs r3, /•., rn. etc., tel que l'égalité
soit vérifiée avec telle approximation qu'on voudra. On aura donc,
x = logrt.
Par exemple, cherchons le logarithme de \,{. On trouve, en se reportant à la suite (i), que 1,1 est compris entre rK et r3. On peut donc poser
1,1 = rs X 6
ou
\yi = (10)" X l>,
»ft on a : b = 1,0236292450 D'ailleurs, 6 est lui-même compris entre
)\ et r7. On peut donc poser
(I; Tour montrer combien les terme* de la suite (1) se rapprochent rapidement de l'unité, il suffit de considérer la valeur de rM. On a :
rM — 1, 00000 00000 00000 00199 71742 08115... on a donc :
,,<w ~~ * < ïô"'
c est compris entre r8 et r9j et on pose
ou
On a donc
ou
1,1 = (io)T»+ïïï + nr x dm
™ + îôq + kTÔ es^ déjà une valeui* approchée du logarithme cherché
et l'erreur est certainement plus petite que — puisque d, étant plus petit
que r9, est pluspetit que (10) * ' f .
En continuant de la sorte, on trouve :
1>1 == rB r7 r9 ,§12 r13 **17 r!9 rfO rU 'il r30 r3i X #»
</ étaul plus petit que r32 :
On a donc :
et Terreur commise est plus petite que ( - ) qui est égal à
Les huit premières décimales sont donc exactes et on trouve, en effectuant le calcul,
1og(l,l) = 0,04139268.
