partie décimale augmente de
Si, donc, le septième chiffre est S, par exemple, la partie décimale de la mantisse du logarithme doit être augmentée de
Ainsi, par exemple, soit à chercher la partie décimale de la mantisse de log (3024075). La partie décimale de la mantisse du logarithme de 30240 est 4805818. La différence entre cette partie décimale et celle du logarithme de 30241 est
pour tenir compte du sixième chiffre 7, il faudra donc augmenter la partie décimale et la mantisse de
et, pour tenir compte du septième chiffre 5, il faudra augmenter la partie décimale de la mantisse de
AU
La partie décimale de Ja mantisse du logarithme de 3024075 est donc :
Dans ces calculs, il ne faut jamais calculer plus de sept décimales. Cependant, lorsque la huitième décimale devrait être plus grande que 5, on force la septième décimale d'une unité.
Pratiquement, pour calculer les accroissements du logarithme, en tenant compte du sixième et du septième chiffre, on se sert de petites tables auxiliaires inscrites à la droite de chaque page de la table dans une colonne intitulée diff. ou PP (parties proportionnelles). Ces petites tables contiennent lesproduits par 0,1, 0,2, 0,3. ..0,9 des différences des parties décimales des mantisses inscrites dans la page considérée.
Ainsi, dans la page où se trouve la mantisse de 30240, se trouve, dans la colonne des parties proportionnelles, la petite lable suivante :
ma
En regard du nombre 7 se trouve le produit de 143 par 0,7. En reculant, dans cette table, toutes les virgules vers la gauche on aies produits de 143 par 0,01, 0,02, 0,03 ... 0,09 qui servent à tenir compte des septièmes chitTres.
Voici quelques exemples de disposition pratique des calculs dans la recherche du logarithme d'un nombre donné :
i- Calculer \og (515,6718)
pour 51567 7123719 diff.= 84
pour 0,1 8,4
pour
log (515,6718)= 2,7123734
2° Calculer log (0,03141592)
pour 31445 4971371 rftf.= 138
pour 0,9 124,2
log (0,03 141592) = 2,4971498
La méthode des parties proportionnelles, qui se fonde sur la proportionalité de l'accroissement du logarithme à l'accroissement du nombre, ne donne pas de très bons résultats quand le nombre formé par les cinq premiers chiffres est tout à fait au début de la table entre 10000 et 10800, car, dans cet intervalle, l'hypothèse de laproportionalité est moins exacte. C'est à cause de cela que la majorité des tables à 7 décimales contiennent les logarithmes des nombres jusqu'à 108000, c'est-à-dire que les tables donnent directement le logarithme d'un nombre de 6 chiffres de 100000 à 108000. On n'a plus, alors, qu'à appliquer une seule fois la règle des parties proportionnelles pour tenir compte du septième chiffre, s'il y a lieu (M.
Problème inverse. — Calculer un nombre connaissant son logarithme.
Le logarithme d'un nombre étant donné, la mantisse fait connaître le nombre obtenu en supprimant la virgule et la caractéristique fait connaître la place de la virgule.
Si la mantisse du logarithme proposé a pour partie décimale précisément la partie décimale de la mantisse d'un nombre donné par la table, on a, immédiatement, le nombre cherché.
Ainsi, par exemple, soit à trouver le nombre dont le logarithme est :
On trouve, dans la table, que le nombre dont la partie décimale de la mantisse est
est : 492 S 2. Le nombre cherché est donc :
Dans la majorité des cas, on ne trouve pas, dans la table, de nombre dont la partie décimale de la mantisse soit, précisément, celle du logarithme proposé. On cherche, alors, le nombre le plus
(1) Si le nombre proposé avait plus do sept chiffres, il serait inutile de pousser l'application de la règle de proportionalité en tenant compte du huitième chiffre, car on n'aurait pas une approximation plus grande.
416 AUiÈBRK KI.KMKNTÀIKK.
grand dont la mantisse soit contenue dans la mantisse proposée, les cinq chiffres qui forment le nombre, sont alors, les cinq premiers chiffres du nombre cherché.
11 reste à calculer le sixième et le septième chiffre. Pour cela, on forme la différence o entre la partie décimale de la mantisse proposée et la partie décimale de la plus grande mantisse de la table qui y est contenue. Soit, d'autre part, d la différence des parties décimales des deux mantisses, de la table, qui comprennent la mantisse proposée. En admettant, toujours, que l'accroissement du logarithme est proportionnel à l'accroissement du nombre, on pourra calculer les deux chiffres suivants.
Puisque, lorsque le cinquième chiffre du nombre augmente d'une unité, le logarithme augmente de </, le sixième chiffre sera égal au
nombre entier de fois que * sera contenu dans 3. On cherchera
donc le plus grand des multiples de — (multiples qui sont inscrits
dans la table auxiliaire des parties proportionnelles) plus petit que o.
Soit 8' l'excès de l sur ce multiple. Le septième chiffre sera évidem-
d ment égal au plus grand nombre entier de fois que —-est contenu
dans ô'.
Par exemple, soit à trouver Je nombre dont le logarithme est
En se reportant à la table, on trouve que les deux nombres
50663 et 50664
ont pour parties décimales des mantisses de leurs logarithmes, respectivement,*
7046909 et 7046995.
Le nombre cherché est donc (abstraction faite delà virgule) compris enliv
50663 et 50664.
Les cinq premiers chiffres sont donc 50663. L'excès de la partie décimait* de la mantisse donnée sur la partie décimale de la mantisse de 50663 esl :
D'autre part, l'excès de la partie décimale de la mantisse de :>0664 sm celle de 50663 est :
En se reportant à la table des parties proportionnelles, on trouve que le plus grand multiple de — = 8,6 contenu dans J est
Le sixième chiffre est donc 7. L'excès de $ sUr ce multiple est :
Kn se reportant encore à la table des parties proportionnelles, et en
reculant, dans tous les produits, la virgule d'un rang vers la gauche, on
d trouve que le plus grand multiple de jrrz = 0,86 contenu dans &' est :
Le septième chiffre est donc 2.
Pratiquement, on dispose l'opération de la façon suivante :
Calculer le nombre x tel que
log# = 3,7046971.
pwr 7046909 50603 *iif. — 86
* = 62 pour 60,2 0,7
pour \ ,7 0,02
Car, la caractéristique étant + 3, la partie entière du nombre a quatre •hiffres (').
144. Application. — Les logarithmes permettent de résoudre les équations exponentielles de la forme
a — Ik
a et b étant deux nombres positifs.
Car, en prenant les logarithmes des deux membres on a :
c . log a = log fi,
ou
log b '
(l) Gomme nous l'avons dit plus haut, il serait illusoire de chercher à calculer un huitième chiffre, pour le nombre, en appliquant une troisième fois la méthode des parties proportion uoUo8, car l'approximation avec laquelle on connaît le logarithme ne permet pas de calculer le nombre avec une plus grande approximation.
Exemple. — Résoudre l'équation
On a
= IogO,S log3
Or :
log3 = 0,4771213, log 0,5 = 1,6989700;
donc :
Comme le numérateur est négatif, on peut mettre le signe ( — ) en évidence de la façon suivante : on écrit
cologO, 5
Il reste à calculer le quotient
Pour cela, nous emploierons les logarithmes, car
lôgr/ = log (0,3010300) + colog (0,4771213).
1° Calcul de log (0,301 0300)
pour 30103. 4786098
log0,3010300 = 7,4786098.
2° Calcul de colog (0,4771213)
pour 47712 6786276 <///.= 94
pour 0,1 9,1
pour 0,03 2,7
log (0,477121 3) = î,6786288 colog (0,4771213) = 0,3213712.
3° Calcul de q :
log (0,3010300) = 1,4786098 colog (0,4771213) = 0,3213712
Jog? = 1,7999810
pour 7999743 63092 <Hff. = 69
*' = 4,9 pour 4,8 0,07
Donc :
219. Calculer, par logarithmes, les valeurs numériques des expressions suivantes
pour
c* ' y(a + 6)c», îto»(a + c)
