CHAPITRE IV
145. Rappelons, d'abord, en quelques mots, les règles de Y Intérêt simple (a).
Lorsqu'on prête une certaine somme d'argent, dite capital, l'emprunteur verse au prêteur une certaine somme d'argent, dite intérêt du capital, pour payer le droit de jouissance du capital. Le capital reste, d'ailleurs, la propriété du prêteur.
Dans le prêt à intérêt simple, on admet les conventions suivantes :
L'intérêt, produit par un capital, est proportionnel à ce capital et au temps du prêt. On appelle taux de l'intérêt, l'intérêt rapporté par l'unité de capital dans l'unité de temps. Ainsi le taux est r si 1 franc, placé pendant une année, rapporte r (fractions de francs). On dit que le taux est de 4 pour cent, ce qui s'écrit 4%, si 100 francs rapportent 4 francs en un an. Ainsi, au taux de 4%» 1 franc rapporte 0fr,04, en un an.
La formule générale de l'intérêt simple est
i désignant l'intérêt et A le capital, exprimés en francs, r le taux, et t le temps du placement, en prenant l'année pour unité de temps.
146. Une somme est placée à intérêts composés lorsque, à la fin de chaque unité de temps, l'intérêt est ajouté au capital et produit lui-même intérêt pendant les unités de temps qui suivent.
On dit que les intérêts sont capitalisés à la fin de chaque unité de temps. Ordinairement, on prend l'année pour unité de temps.
Le problème général des intérêts composés est le suivant :
Problème. — Calculer ce que devient un capital A, placé à intérêts composés, pendant n années, au taux y, les intérêts se capitalisant à la fin de chaque année.
Pendant la première année, le capital A a produit l'intérêt Ar, ce capital est donc devenu
A + Ar = A (1 + r).
(1) La question désintérêts composés a déjà été traitée en arithmétique par M. Tannery, dans les n°* 388 à 390 de ses Leçon» d'arithmétique. Nous reprenons ici la question parce que l'usage des logarithmes simplifie la solution des problèmes auxquels on est conduit.
(2) Voir dans les Leçons d'arithmétique de M. Tannery, les n" 317 à 387.
Ceci prouve que :
Von obtient la valeur acquise par un capital au bout d'un an, en multipliant ce capital par (1 -}- *")•
Au bout de la première année le capital est A (1 -f- r); au bout de la seconde année il est donc égal à
La valeur acquise, par le capital, au bout de la troisième année s'obtiendra en multipliant la valeur acquise au bout de la seconde année par ( 1 -f- r) . Cette valeuf est donc A ( 1 + rY î et &ins* <te suite. La valeur acquise, par le capital, au bout de n années, sera donc A' :
Cette formule donne des calculs faciles à faire par logarithmes, car on a :
log A; = log A + n . log (1 -f r)«
Exemple. — Que devient un capital de 1 000 francs placé à intérêts composés pendant dix ans à 3 • /0 ?
On a, ici :
A = 10000, n = 10, 1 + r = 1,03 ; log A = 4, log (1 + r) = 0,012 8372, n. log (1 + r) = 0,1283720.
Donc,
log A' =4,1283720;
ce qui donne
A'= m39rr,15.
147. Cas général. — Le temps du placement n9est pas un nombre entier aV années.
Supposons que le capital A ait été placé, à intérêts composés,
pendant un nombre n d'années, plus une fraction - d'année, au
taux r. Au bout des n années le capital est devenu
Il est naturel de supposer que, pendant la fraction - d'années, le
capital soit placé à intérêt simple.
Cet intérêt est, alors,
A (1 + r)nZr q
et le capital est devenu
A (1 + r)n + A (1 + r)"|r = A (1 + r)B (i + *r). La formule
A' = A (1 + r)" (l + Jr) (2),
à laquelle on parvient, se prête mal aux calculs logarithmiques. Pratiquement, on lui substitue la formule suivante :
qui donne, pour la valeur de A', des résultats un peu plus faibles ('), mais qui est plus commode dans les calculs, car elle donne
log A' = log A + (n +£\ log (1 -f- r).
Cette formule peut, d'ailleurs, être justifiée par le raisonnement suivant :
Au lieu de supposer que les intérêts soient capitalisés tous les
(I) Pour montrer que la formule pratique donne des résultats plus faibles que la formule (2), il suffit de montrer que
r étant un nombre positif et - un nombre plus petit que I. Ceci se vérifie facilement dans le>
cas oh p = 1. Car, q étant un nombre entier, on a (Voir n* 133, Lemme) :
« + 9* < (t + «)« ; prenons
on aura
ou
Lorsque - est quelconque mais plus petit que 1, on peut faire la démonstration de la façon suivante :
ans, supposons qu'on les capitalise tous les qiéme* années. Calculons quel doit être le taux pour que , dans cette nouvelle hypothèse, le capital obtenu soit le même que celui qu'on obtient par la formule (1), quand le nombre des années est entier. Or, 1 franc, au bout d'une année, devient 1 -f- r; d'autre part, soit x le taux cherché, c'est-à-dire l'intérêt de 1 franc dans un qiém* d'année : en
Considérons la différence
y= (i + x\— (l + P-x\ et prenons la dérivée de cette fonction y de;:
i/ = £ ( i -\- x\q " l — - (Voir Exercice 163).
Celte dérivée s'écrit
Pour toute valeur positive de x, (1 -f x) est plus grand que I et, par suite, toute puissance
positive I 1 + x J q , de (l -f jp), est aussi plus grando que 1. Pour toute valeur positive
de a\ la quantité ontre crochets est négative et, par suite, la dérivée y' est négative. La
fonction y décroti donc, lorsque x est positif ( - < ! )• Or, pour x = 0, on a y = 0, par
suite, lorsque x croît à partir de zéro, y décroit à partir de zéro. Pour toute valeur positive de r, y est donc négatif et on a, pour x = r,
La même démonstration montrerait que, si - était plus grand que 1, la dérivée y' serait
positive, pour toute valeur do x% et, par suite, aussi y. Donc, si
on a :
(l +ry> I + ?r.
Nous avions déjà démontré cette proposition dans le cas ou- est entier (n* 133, Lemme),
un an, 1 franc sera devenu (1 + xf, dans la nouvelle hypothèse. On devra donc avoir :
ou
Ceci posé, le capital, étant placé pendant nq + 7;, qiém" d'années, les intérêts se capitalisant tous les qiéme* d'années, au taux a?, devient :
et, par suite,
Pratiquement, la formule générale des intérêts composés est
/ désignant le temps du placement, Tannée (ou, plus généralement, la période de temps au bout de laquelle on capitalise les intérêts) étant prise pour unité. * peut être un nombre entier ou fractionnaire.
