I. — Le premier problème est celui que nous avons traité
Que devient un capital A placé, à intérêts composés, pendant le temps t, au taux r?
La formule (3) donne, immédiatement, le capital A' cherché. On trouve des tables toutes faites donnant les valeurs de (l +7)" pour les taux usuels et une suite de valeurs de l'exposant n (*), mais
(I) M. Tannory, dans ses excellentes Leçons d arithmétique, indique Y Annuaire du Bureau des
Longitudes, qui contient les valeurs de (I -f r)n et do ~~~ ~Z pour r = 0,025 ; 0,03 ; 0,035 ;...
0,06 et pour les valeurs de n, de t à 31. Pour les calculs plus compliqués, il indique encore la
Théorie de» intérêts composés et annuités de Pédor Thoman eV là Théorie mathématique des
opérations financières de M. Char\on (Gauthier- Villars et fils).
remploi des logarithmes, dans les calculs, dispense, facilement, de l'usage de ces tables. On a, en effet
logA' = logA +Mog(l + r).
II. — Quel est le capital qu'il faut placer, à intérêts composés, au taux r, pendant le temps t, pour obtenir un capital h! ï De la formule (3) on tire :
d'où
logA = logA' + f.colog(l +r).
Exemple. — Quelle somme un père doit-il placer, à intérêts composés, à 3 %, à la naissance de sa fille, pour lui constituer, à dix-huit ans, une dot de 100 000 francs?
Ici, un a :
A' =100000, t=18, l + r=l,03; log A' = 5, log (i + r) = 0,0128372,
colog (1 + r) = 7,9871628, 18. colog (1 + r) = 7,7689304.
Donc
log A = 4,7689304,
d'où
III. — A quel taux faut-il placer un capital A, à intérêts composés, pour quil devienne A' dans le temps t? La formule (3) donne
logA' == logA + / log(l + r)
d'où
log(1 + r) = jogANheoloiA
on a, ainsi, 1 + r e^ Par suite, r.
Exemple. — A quel taux faudrait-il placer un capital pour qu'il fut doublé en 15 ans, à intérêts composés ?
La formule (3) donne :
d'où
. ,â , log2 0,3010300
log (i + r) = 0,0200686,
on en tire :
Le taux cherché est donc 4,72 %•
IV. — Combien de temps faut-il placer un capital A pour, qu'à intérêts composés, au taux r, il devienne A'? Puisque, d'après la formule (3),
logA' = logA + /log(t + r), on a :
log A' + cologA
log(l + r)
Pour calculer le quotient qui donne t, on pourra encore employer les logarithmes :
log/ =log[logA' + cologA] + colog[log(l + r)]
Exemple. — Au bout de combien de temps un capital placé, à intérêts composés, à 5 %» aura-t-il décuplé ? (!). La formule (3) donne :
d'où
log (10) 1
~~ log (1,05) ""0,0211893' log t = colog (0,021 1893) = 1,6738833 ;
ce qui donne
ou
4 — tnmn» Qm»ii Ajout»
Remarque. — Lorsqu'on suppose que la période, au bout de laquelle on capitalise les intérêts, est le qièm* d'année, on fait d'ordinaire la convention que le taux est tel que le capital acquiert au bout d'un
(I) Voir, dans les Leçons d'arithmétique de M. Tannery (n° 390), comment on pourrait traiter ce problème sans se servir de tables de logarithmes.
an la même valeur que si la période était d'un an, à un taux donné.
Dans ces conditions, la valeur acquise par un capital au bout d'un an est toujours la même quel que soit q.
Mais on pourrait calculer la valeur acquise par le capital de la façon suivante qui serait, peut-être, plus rationnelle :
Soit r le taux, c'est-à-dire l'intérêt de 1 franc pendant un an.
r Pendant un qihmù d'année, 1 franc rapporte -. Donc, au bout d'un
premier qién9 d'année, le capital A est devenu :
Au bout de p périodes, ou - années, le capital sera devenu :
Par exemple, au bout de n années, p = hj, et le capital sera :
ou
Le multiplicateur du capital A est ici >
au lieu de
• d+rr.
Or, comme on sait (n° 133, Lemme), on a :
ou
on a donc
Le nouveau multiplicateur est donc plus grand. Il y aurait donc avantage à diminuer la période.
C'est précisément pour éviter cet avantage que donnerait le fractionnement de la période, que les banquiers ont adopté la convention qui conduit à la formule (3), convention qui n'est pas en accord absolu avec les règles de l'intérêt simple, comme celle qui nous a conduit à la formule (4).
Lorsque q augmente, le multiplicateur de la formule (4) augmente, mais il n'augmente pas indéfiniment. On peut, en effet, démontrer (') que, lorsque q croit indéfiniment,
a pour limite er, e désignant la base des logarithmes népériens. A la limite, la formule (4) devient, quand q croit indéfiniment,
A' = A eru,
qui serait ce qu'on pourrait appeler la formule des intérêts composés à capitalisation instantanée.
