CHAPITRE V

149. Placements annuels. — Une personne place, tous les ans, au commencement de tannée, une même somme a, à intérêts composés, quel est le capital constitué au bout de n années ?

Le placement a, placé au commencement de la première année, reste placé pendant n années et a, par suite, acquis, au bout des n années, la valeur

r étant le taux.

Le second placement a ne reste placé que (n — 1 ) années et devient, au bout des n années,

(I) Cette démonstration est du ressort de l'algèbre supérieure.

et, ainsi de suite. Le dernier placement ne reste placé que pendant une année et acquiert la valeur

Le capital constitué, au bout des n années, est la somme P des valeurs acquises par les placements partiels. On a donc :

Le second membre de cette égalité est la somme des termes d'une progression géométrique dont le premier terme est a (1 + r) et la raison (l + r); on a (n° 132, Th. I) :

(l+r)-l ou

Cette formule n'est pas, directement, calculable par logarithmes ('), car on a :

log P = log a -f- log (1 + r) + 1°8 [(î + rT — 1] + colog r

et on ne connaît pas directement la quantité (1 + r)H — 1, car il

faut faire un premier calcul logarithmique pour connaître (1 -f- r)"- Si, donc, on veut calculer P, par logarithmes, il faut, d'abord, calculer

(1 + r)1', puis, ayant formé (1 + r)n — 1 , appliquer la formule précédente qui donne log P.

Exemple. — Une personne dépose à la caisse d'épargne, tous les ans, au commencement de Vannée, 125 francs, pendant dix ans, on demande quelle somme elle aura à toucher au bout de dix ans. Le taux de fintérét est

2,5 •/.- Ici on a :

(1) On dit qu'une expression est calculable par logarithme* lorsqu'elle ne contient aucun signe (+) ou (— ) reliant des quantités connues ou des quantités qu'on déduit facilement des quantités connues. Ainsi l'expression

« {« + rf

qui donne la valeur acquise par un capital a, placé a intérêts composés, est calculable par logarithmes.

On calcule, d'abord, (i + rf :

log (1 + r) = 0,0107239, 10 • log (1 + r) = 0,1072390,

d'où on tire :

(1 + r)" = 1,28008 et

Pour calculer P, on a, alors,

log a = 2,0969100 log (1 + r) = 0,0107239

log [(1 + r)10 — l] = ï,4472821 cologr = 1,6020600

log P = 3,1569760 P = 1435f%41.

Le calcul direct de P, par l'emploi unique des logarithmes, est assez pénible ; aussi, dans la pratique, se sert-on de tables toutes faites donnant les valeurs du multiplicateur

<. + „lL±£=i.

pour les valeurs usuelles de r et de n.

On trouve, par exemple, dans Y Annuaire du Bureau des Longitudes une table donnant les valeurs de ce multiplicateur pour les taux 3, S; 4; 4,5; et 5%. et de 1 à 33 années.

Exemple. — Quel est le capital produit, au bout de J5 années, par io placements de 1 000 francs chaque, à 4 °/o.

On trouve, dans les labiés, qu'un placement de 1 franc, pendant 15 années, produit

1 000 francs produisent, donc,

20 824fr,531.

La formule qui donne P contient quatre quantités : P, a, r, et ». Les problèmes de placements peuvent donc affecter quatre formes différentes, suivant que l'inconnue est Tune de ces quatre quantités. Lorsque l'inconnue est P ou a, le problème ne présente aucune difficulté. Lorsque l'inconnue est r, le problème n'est pas toujours

complètement résoluble par les procédés élémentaires. Car, si on prend (t -f- r) comme inconnue